Участник:Wera/Песочница: различия между версиями

Нет описания правки
<math>\int_a^bf(x)dx = \bigg |_a^b{F(x)}</math>
 
== Параметр Акасофу ==
 
<math>\varepsilon(t) = {B^2(t) V(t) l_0 \over \mu_0}sin^4{\theta\over2}\,\!</math>
<math>\alpha</math>
 
<math>\theta = \arctan {B_y(t)\over B_z(t)}\,\!</math>
=== 1. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши для числовой последовательности ===
<b>Больцано-Вейерштрасс</b>
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
 
<math>B = \sqrt{B_y^2 + B_z^2}\,\!</math>
<b>Коши</b>
<math>
\forall \varepsilon \ge 0 \ \exists N(\varepsilon) \ : \ \forall m>N(\varepsilon), n>N(\varepsilon) \rightarrow |x_m - x_n| < \varepsilon \,\!
</math>
 
<math>L_0 = 7 R_E\,\!</math>
Необходимость: прибавить-вычесть внутри скобки
Достаточность: выделяем сход. подпосл., для нее выполняется определение, берем <math>|x_{n_k} - x_n| < \varepsilon/2</math>, прибавим-вычтем предел, сложим два эпсилон-пополама
 
<math>\varepsilon = 0.16 * 10^6 * B^2 * V * sin^4{\theta\over2} \,\!</math>
=== 2. Два определения предела функции одной переменной и их эквивалентность.===
 
<math>\varepsilon \approx 10^{11} W \,\!</math>
<math>
\lim_{x\rightarrow a} {f(x)} = b
</math>
 
<b>Гейне</b>
 
<math>
\forall \{x_n\} \rightarrow a \ \rightarrow \ \{f(x_n)\} \rightarrow b \,\!
</math>
 
<b>Коши</b>
 
<math>
\forall \varepsilon \ge 0 \ \exists \delta(\varepsilon) \ : \ |x - a| < \delta \ \rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon \,\!
</math>
 
=== 3. Свойства функций одного переменного, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях.===
 
<b>Теорема 1:</b> непрерывная на (a,b) f(x) ограничена на (a,b).
 
Д-во: пусть неограничена... Но для непрерывной <math>\exists \lim_{x\to b} f(x) = a \ne \infty </math>
 
<b>Теорема 2 (Вейерштрасса):</b> непрерывная на (a,b) f(x) достигает точных верхней и нижней граней.
 
Д-во: надо взять {x<sub>n</sub>}: f(x<sub>n</sub>) сходится к М (м), тогда по непрерывности существует x: f(x) = M (m)
 
<b>Теорема 3:</b> непрерывная на (a,b) f(x) пробегает все промежуточные значения
 
Д-во: Лемма о нуле для функции, имеющей на концах разные знаки, затем ее применение
 
=== 4. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: Ролля, Лагранжа и Коши.===
 
Ролля: равные значения на концах => существует точка х, где f`(x) = 0
 
Д-во:
1. f(x) = const
2. По теореме Ферма (о нуле производной в экстремуме): рассмотрим такой подинтервал (c,d), что f(a) = f(c) = f(d) = f(b) и f(x) != f(a) на (c,d).
 
Лагранжа: существует x: f(b) - f(a) = f`(x)*(b - a)
 
Д-во: Рассм. <math>\phi (x) = f(x) + \lambda x: \lambda = - {f(b) - f(a) \over b - a}. \,\!</math> Тогда по теореме Ролля...
 
Коши: <math>\exists x \quad { f(b) - f(a) \over g(b) - g(a) } = { f'(x) \over g'(x) } \,\!</math>
 
Д-во: <math>\phi (x) = f(x) + \lambda g(x): \lambda = - {f(b) - f(a) \over g(b) - g(a)}.\,\!</math> Тогда по теореме Ролля...
 
=== 5. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.===
 
<b>Теорема 1</b>: <math>\exists \xi:\quad f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + ... + {f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n \over n!} + {f^{(n + 1)}(\xi)(x - x_0)^{n + 1} \over (n + 1)!} \,\!</math>
 
Д-во использует две леммы:
 
1. Существует <math>P_n(x):\quad P^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)\,\!</math> равный началу формулы Тейлора.
 
2.
<math>
\begin{matrix}
\varphi(x_0) = \varphi'(x_0) = ... = \varphi'^{(n)}(x_0) = 0 \\
\psi(x_0) = \psi'(x_0) = ... = \psi^{(n)}(x_0) = 0 \\
\psi^{(k)}(x_0) \ne 0 \quad for x \in U_\delta(x)
\end{matrix}
</math>
 
Тогда
<math> \exists \xi
{\varphi(x) \over \psi(x)} = {\varphi^{(n+1)}(\xi) \over \psi^{(n+1)}(\xi)}
</math>
 
обозначим:
<math>
\begin{matrix}
r_n(x) = f(x) - P_n(x)\\
\varphi(x) = r_n(x) \\
\psi(x) = (x - x_0)^{n + 1}
\end{matrix}
</math>,
 
тогда по лемме остаток получается в форме Лагранжа
 
<b>Теорема 2</b>: <math>\exists \xi:\quad f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + ... + {f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n \over n!} + o((x - x_0)^n) \,\!</math>
 
Д-во: <math>
{r_n(x) \over (x - x_0)^n} = \{lemma_2\} = {r-n^{(n-1)}(\xi) - \{r_n^{(n-1)}(x_0) = 0\} \over n!(\xi - x_0)}
\,\!</math>
 
А поскольку
 
<math>r^{(n)}_n(x_0) = (r^{(n - 1)}_n(x_0))' = \lim_{x\to x_0}{(r^{(n - 1)}_n(x)) - (r^{(n - 1)}_n(x_0)) \over x - x_0}\,\!</math>,
 
то при <math>x > \xi > x_0, \quad x \to x_0 \quad and \quad \xi \to x_0\,\!</math> в пределе можно заменить x на <math>\xi</math> и тогда
 
<math>\lim_{x\to x_0}{r_n(x) \over (x - x_0)^n} = r^{(n)}(x_0) = 0 \,\!</math>, Что и означает <math>r^{(n)}(x_0) = o((x - x_0)^{n})</math>
 
=== 6. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.===
 
Опр.: <math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta \ : \ \rho(x_1, x_2) < \delta \ |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon</math>
 
<b>Теорема (Кантора):</b> непрерывная на компакте ф-я равномерно непрерывна на нем.
 
Д-во: от противного. Пусть <math>\exists \varepsilon_0</math>, для которого это не выполняется. Тогда найдется последовательность <math>\delta_n = {1/n}\,\!</math>. Далее из непрерывности функции переходя в проверяемом неравенстве к пределу получаем, что <math>0 = |f(x_1) - f(x_2)| \ge \varepsilon > 0 \,\!</math>
 
=== 7. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.===
 
Опр.: <math>f(x) = f(x_1, ... , x_n)\,\!</math> называется дифференцируемой в т. x<sub>0</sub>, если <math>\forall i = 1,...,n \ \exist A_i : f(x) - f(x_0) = \sum_{i=1}^nA_i(x_i - x_{i0}) + o(\rho(x, x_0))</math>
 
<b>Необходимое условие</b>: наличие частных производных.
 
Д-во: почленная запись определения с последовательным доказательством существования всех n частных производных.
 
<b>Достаточное условие</b>: наличие и непрерывность частных производных.
 
<math>f(x_1, ..., x_n) - f(x^0_1, ..., x^0_n) = f(x_1, ..., x_n) - f(x^0_1, x_2, ..., x_n) + </math><math>+ f(x^0_1, x_2, ..., x_n) - f(x^0_1, x^0_2, x_3, ..., x_n) + ... + f(x^0_1, ..., x^0_{n-1}, x_n) - f(x^0_1, ..., x^0_n)</math>
 
Используем формулу конечных приращений. Обозначим:
 
<math>
f_i(x) = { f(x_i, ..., x_n) - f(x^0_i, x_2, ..., x_n) \over x_i - x_i^0 } = {\partial f \over \partial x_i}{(x_i + \theta(x_i - x_i^0), x_2, ..., x_n) \over x_i - x_i^0 }
\,\!</math>
 
Тогда существует конечный предел <math>f_i = {\partial f \over \partial x_i}</math>.
 
Получаем требуемое в определении представление.
 
=== 8. Исследование функции одного переменного с помощью производных: возрастание (убывание), экстремумы.===
 
Теорема 1: Производная неотрицательна <=> функция неубывает.
 
Д-во: 1. Рассмотреть знак выражения <math>f(x) - f(x_0) \over x - x_0</math>
2. Использовать формулу конечных приращений, в которой рассмотреть знаки: <math>f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0)</math>
 
Теорема 2: первая производная меняет знак.
 
Д-во: как в первой части, только два раза :)
 
=== 9. Теорема о неявных функциях, заданных одним уравнением.===
 
Опр.: Пусть задано уравнение F(x,y) = 0. Тогда функция y(x), определяемая этим уравнением называется неявной функцией.
 
<b>Теорема <i>(достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, заданной одним уравнением)</i>:</b>
 
1. <math>F(x_0, y_0) = 0\,\!</math>
 
2. <math>F_y(x_0, y_0), F_x(x_0, y_0)\,\!</math> непрерывны в окрестности (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>)
 
3. <math>F_y(x_0, y_0) \ne 0\,\!</math>
 
Тогда существует прямоугольник
 
<math>K = {(x,y) : x_0 - a \le x \le x_0 + a; \ y_0 - b \le y \le y_0 + b}</math>
 
в котором определена и непрерывна неявная функция f(x), производная которой
 
<math>f'(x) = - {F_x(x,f(x)) \over F_y(x,f(x))} \,\!</math>
 
Д-во:
 
1. (Существование y(x)) Требуется доказать, что при этих условиях <math>\forall x \exists ! y</math>. Если <math>F_y(x,y) < 0</math> можно аналогично рассмотреть ур-е -F(x,y). Поэтому ограничимся случаем <math>F_y(x,y) > 0</math>. Из непрерывности (усл.) следует существование окрестности т. (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>), в которой F<sub>y</sub>(x,y)>0. Тогда F(x<sub>0</sub>, y) строго возрастает в этой окрестности. Теперь из непрерывности и строгого возрастания F(x,y) для любого x получаем единственный y. УРА.
 
2. (Непрерывное Дифференцирование y(x))
Функция непрерывна на отрезке (в прямоугольнике), следовательно, она принимает наименьшее значение <math>\alpha\,\!</math> (по т. Вейерштрасса) и ограничена (например, числом <math>\beta\,\!</math>). Возьмем точку (x + \Delta x, y + \Delta y) такую, что <math>F(x + \Delta x, y + \Delta y) = 0\,\!</math>.
 
По формуле конечных приращений из этого следует
 
<math>F_x(x + \theta\Delta x, y + \theta\Delta y)\Delta x + F_y(x + \theta\Delta x, y + \theta\Delta y)\Delta y = 0\,\!</math>
 
Тогда можно оценить <math>|\Delta y| \le {\beta\over\alpha}|\Delta x|</math>. Переходя к пределу, получим производную, которая будет непрерывной, как суперпозиция двух непрерывных функций (частных производных)
 
=== 10. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.===
=== 11. Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа (необходимые условия экстремума).===
=== 12. Определённый интеграл. Свойства интеграла с переменным верхним пределом: непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница.===
=== 13. Несобственные интегралы. Сходящиеся и абсолютно сходящиеся интегралы. Критерий Коши. Признак сравнения.===
 
=== 14. Числовые ряды. Сходимость и абсолютная сходимость. Критерий Коши.===
 
Опр: Ряд...
 
Опр: Сходимость...
 
Опр: Абсолютная сходимость...
 
Теорема (критерий Коши сходимости ряда): <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N : \forall p \in \mathbb{N} \sum_{N+1}^p < \varepsilon</math>
 
=== 15. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.===
=== 16. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость).===
=== 17. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора.===
=== 18. Криволинейные интегралы. Формула Грина.===
 
Криволинейный интеграл: сумма произведений функции на длину маленьких кусочков кривой.
 
Формула Грина:
 
P,Q - непрерывно дифференцируемы в односвязной области <math>\Omega \subset R^2\,\!</math>
 
<math>
\int_{\partial G}Pdx + Qdy
\,\!</math>
 
=== 19. Поверхностные интегралы. Формула Остроградского--Гаусса.===
=== 20. Формула Стокса.===
=== 21. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.===
=== 22. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.===
=== 23. Ряд Фурье по ортогональной системе.===
Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье по норме <img xmlns:extensions="xalan://ru.arptek.common.StringUtils" align="middle" alt="L_2" hspace="0" src="http://math.arptek.ru/eq.html?eq=L_2" vspace="0"> (то есть в смысле среднего квадратичного).
 
=== 24. Преобразование Фурье. Формула обращения. Непрерывность преобразования Фурье.====
=== 25. Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.===
=== 26. Различные способы задания прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Формулы расстояния от точки до прямой и плоскости.===
=== 27. Кривые второго порядка. Эллипс, парабола, гипербола и их свойства.===
=== 28. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера--Капелли. Общее решение системы алгебраических уравнений.===
=== 29. Линейное отображение в конечномерных пространствах, его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований, их свойства.===
=== 30. Евклидово пространство. Самосопряжённые преобразования, свойства их собственных векторов и собственных значений.===
=== 31. Ортогональные преобразования в евклидовом пространстве. ===
 
=== 32. Билинейные формы. Квадратичные формы, и их приведение к каноническому виду.===
=== 33. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.===
=== 34. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Методы их решения, использование матричных формул.===
=== 35. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных. Определитель Вронского, формула Лиувилля--Остроградского.===
=== 36. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.===
=== 37. Задача вариационного исчисления со свободными концами. Необходимые условия экстремума.===
=== 38. Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума.===
=== 39. Вероятностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная вероятность. Полная система событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.===
=== 40. Случайная величина и её функция распределения.===
=== 41. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.===
=== 42. Испытания Бернулли. Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема Муавра-Лапласа и предельная теорема Пуассона.===
 
== Задачи (джентльменский набор формул) ==
 
 
 
==== Таблица производных и интегралов ====
 
C - произвольная константа
 
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="6">
<tr><th>f(x)</th><th>g(x) = f'(x)</th><th>s(x) = Sf(x)dx</th></tr>
<tr>
<td>
<math>
x^n \,\!
</math>
</td>
<td>
<math>
nx^{n-1} \,\!
</math>
</td>
<td>
<math>
{ x^{n + 1} \over n+1 } + C \,\!
</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
a^x \,\!
</math>
</td>
<td>
<math>
(\ln{a})a^x \,\!
</math>
</td>
<td>
<math>
{ a^x \over \ln a } + C \,\!
</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
\log_ax
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
1 \over x\ln a
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
{x(\ln x - 1) \over \ln a} + C
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
\sin x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\cos x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
- \cos x + C
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
\cos x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
-\sin x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\sin x + c
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
tg x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
1 \over \cos^2 x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
- \ln \cos x + C
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
ctg x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
-{1 \over \sin^2 x}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\ln \sin x + C
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
shx
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
chx
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
chx
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
chx
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
shx
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
shx
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
th x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
1 \over ch^2x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\ln ch x + C
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
cth x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
- {1 \over sh^2x}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
\arcsin x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
1 \over \sqrt{1 - x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
\arccos x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
- 1 \over \sqrt{1 - x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
- x \arccos x + \sqrt{1 - x^2} + C
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
arctg x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
1 \over {1 + x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
arcctg x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
- {1 \over 1 + x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
x \operatorname{arcctg}x - \ln {1 \over \sqrt{x^2 + 1}} + c
\,\!</math>
</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td>
<math>
e^{-x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
-2xe^{-x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
Интеграл Пуассона
</td>
</tr>
 
<tr>
<td>
<math>
\sin x^2,
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
2x\cos x^2
\,\!</math>
</td>
<td>
Синус Френеля
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
\cos x^2
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
-2x\sin x^2
\,\!</math>
</td>
<td>
Косинус Френеля
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
1 \over \ln x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
<td>
Интегральный логарифм
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
\sin x \over x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
<td>
Интегральный синус
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
\cos x \over x
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
<td>
Интегральный косинус
</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="3">
Фред#########################################
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a}
</math>
</td>
<td>
<math>
{1 \over {a{(1 + x^2)}}}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\,\!
</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
1 \over \sqrt{x^2 \pm a^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C; a \ne 0
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
\sqrt{a^2 - x^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
{x\over2}\sqrt{a^2 - x^2} + {a^2\over2}arcsin{x\over a} + C; a > 0
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
\sqrt{x^2 \pm a^2}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
 
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
{x \over 2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm {a^2\over2}\ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C; a \ne 0
\,\!</math>
</td>
</tr>
</table>
 
==== Правила дифференцирования ====
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="6">
<tr>
<td>
<math>
f_1(x) + f_2(x)
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
f'_1(x) + f'_2(x)
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
f(x) g(x)
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
f'(x)g(x) + g'(x)f(x)
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<tr>
<td>
<math>
(f(x) g(x))^{(n)}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\sum_0^n{C_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}}
\,\!</math>
</td>
</tr>
<td>
<math>
f(x) \over g(x)
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
f'(x)g(x) - g'(x)f(x) \over g^2(x)
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
f(g(x))
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
g'(x)f'(g(x))
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
\left(g'(x)\ln f(x) + {f'(x)g(x) \over f(x)}\right)f(x)^{g(x)}
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>
y(x) : y(t); x(t)
\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
y'(t) \over x'(t)
\,\!</math>
</td>
</tr>
<tr>
<tr>
<td>
<math>
y(x) : y(t); x(t)
\,\!</math>
вторая производная
</td>
<td>
<math>
y''(t)x'(t) - x''(t)y'(t) \over (x'(t))^2
\,\!</math>
</td>
</tr>
<td>
<math>
F(x,y(x)) = 0
\,\!</math> в точке <math>(x_0, y_0)\,\!</math>
</td>
<td>
<math>
F'(x, y'(x))
\,\!</math> затем подставляем в результат точку и решаем уравнение относительно y'
</td>
</tr>
<tr>
<td>
производная по направлению
</td>
<td>
градиент
</td>
</tr>
</table>
 
==== Методы интегрирования ====
 
1. Метод Остроградского: "разаливаем" дробь на дроби попроще
 
2. Подстановка tg(x/2) для некоторых тригонометрических
 
3. Интегралы вида <math>\int{dx\over a\sin x + b\cos x} \,\!</math>: выести в знаменателе за скобку корень из суммы квадратов коэффициентов, свернуть сумму в синус суммы, ввести замену типа как в номере 2
 
3. Интегрирование по частям: "запихнуть" часть под дифференциал:
<math>
\int udv = uv - \int vdu
\,\!</math>
 
=== Пределы ===
 
Первый замечательный
 
<math>
\lim_{x\rightarrow 0}{\sin x \over x} = 1
\,\!</math>
 
Второй замечательный
 
<math>
\lim_{x\rightarrow 0}\left(x + {1\over x}\right)^{1\over x} = e
\,\!</math>
 
Формула Тейлора бесконечно дифф. функции f(x) в окрестности точки a. Окрестность определяется радиусом сходимости ряда.
 
<math>
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}(a)(x - a)^n\over n!}
\,\!</math>
 
<math>
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n\over n!}
\,\!</math>
 
<math>
shx = \sum_{n=0}^{\infty}{x^{2n + 1}\over (2n + 1)!}
\,\!</math>
 
<math>
chx = \sum_{n=0}^{\infty}{x^{2n}\over (2n)!}
\,\!</math>
 
<math>
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n{x^{2n + 1}\over (2n + 1)!}}
\,\!</math>
 
<math>
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n{x^{2n}\over (2n)!}}
\,\!</math>
 
<math>
(1 + x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n\over (n)!}\alpha(\alpha - 1)...(\alpha - n + 1)
\,\!</math>
 
<math>
\ln (1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}{x^{n}\over n}}
\,\!</math>
 
=== Свойства функций ===
Непрерывность
 
Равномерная непрерывность
==== Экстремумы ====
 
На множестве дважды дифференцируемости:
<math>
\begin{matrix}
f'(x) = 0
\\
f''(x) > 0 \ \rightarrow \ min
\\
f''(x) < 0 \ \rightarrow \ max
\end{matrix}
\,\!</math>
 
В остальных случаях смотрим области определения, возрастания, убывания
 
==== Перегибы ====
<math>
\begin{matrix}
f''(x) = 0
\\
f'''(x) != 0
\end{matrix}
</math>
 
==== Касательные ====
==== Асимптоты ====
 
Определение
 
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x) - kx - b) = 0
\,\!</math>
 
Вычисление
 
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x) \over x} = k
\,\!</math>
 
 
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x) - kx) = b
\,\!</math>
 
=== Сходимости ===
 
==== Последовательности ====
 
1. Теорема Больцано-Вейерштрасса
 
2. Неубывающая (невозрастающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность сходится
 
3. Критерий Коши
 
4. Теорема о двух милиционерах и посленовогоднем прохожем.
 
5. Сумма, произведение сходящихся последовательностей
 
==== Ряды ====
 
1. Интегральный: если интеграл от функции сходился, то и ряд от последовательности ее значений сходится
 
2. Д'Аламбера:
 
<math>
{a_{n+1} \over a_n} \le q; q \in (0, 1)
\,\!</math>
 
3. Коши
 
<math>
\sqrt[n]{a_n} \le q; q \in (0, 1)
\,\!</math>
 
4. Лейбница
 
Если модули элементов знакочередующегося ряда монотонно стремятся к нулю, то сходится
 
Пусть теперь ряд представим в виде:
 
<math>
\sum a_nb_n
\,\!</math>
 
5. Дирихле
 
Последовательность частичных сумм ряда
 
<math>\sum a_n \,\!</math> ограничена
 
<math>b_n \,\!</math> монотонно стремится к нулю
 
6. Абеля
 
<math>\sum a_n \,\!</math> сходится
 
<math> b_n \,\!</math> монотонна и ограничена
 
==== Интегралы ====
 
=== Функции многих переменных ===
 
==== Дифференцируемость ====
==== Градиент ====
 
l - направление
 
<math>
\begin{matrix}
l = (\cos\alpha; \cos\beta; \cos\gamma);\quad \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1
\\
grad f(x) = \left({df\over dx}; {df\over dy};{df\over dz}\right)
\\
{df\over dl} = (grad f, l)
\end{matrix}
\,\!</math>
 
==== Экстремумы ====
 
=== Анал ===
 
==== Прямая ====
 
===== на плоскости =====
Ax + By + C = 0
 
Прямая проходит через точку r<sub>0</sub> с направляющим вектором a=(m;n)
 
<math>\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 \\ m & n \end{vmatrix} = 0</math>
 
===== в пространстве =====
 
Прямая проходит через точку r<sub>0</sub> перпендикулярно вектору n
 
<math>(r - r_0, \vec n) = 0 \,\!</math>
 
Прямая проходит через точку r<sub>0</sub> параллельно вектору p (с направляющим вектором p)
 
<math>r = r_0 + \vec pt \,\!</math>
 
Прямая задана пересечением двух плоскостей:
 
<math>\left \{ \begin{matrix}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{matrix} \right.</math>
 
Начальная точка - частное решение системы уравнений.
 
Направлющий вектор (знак второй члена!):
 
<math>
m = \begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix},\quad
n = \begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix},\quad
k = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}\quad
</math>
 
Каноническое уравнение:
 
<math> {x - x_0 \over m} = {y - y_0 \over n} = {z - z_0 \over k} \,\!</math>
 
Параметрическое уравнение:
 
<math>
\left\{
\begin{matrix}
x = x_0 + tm \\
y = y_0 + tn \\
z = z_0 + tk
\end{matrix}
\right.
\,\!</math>
 
==== Плоскость ====
 
Плоскость проходит через точку r<sub>0</sub> перпендикулярно вектору n
 
<math>(r - r_0, \vec n) = 0 \,\!</math>
 
Ax + By + C = 0
 
<math>r = r_0 + t_1\vec p + t_2\vec q\,\!</math>
 
<math>
\begin{vmatrix}
x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\
m_1 & n_1 & k_1 \\
m_2 & n_2 & k_2
\end{vmatrix} = 0
</math>
 
==== Векторное произведение ====
 
<math>
[a,b] =
\begin{vmatrix}
e_1 & e_2 & e_3 \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
</math>
 
==== Расстояния ====
 
Между точками:
 
'Модуль вектора разности координат'
 
От точки r<sub>1</sub> до прямой:
 
<math>|[\vec p, r_1 - r_0]| \over |\vec p| \,\!</math>
 
От точки до плоскости:
 
Между прямыми:
 
<math>|(r_{01} - r_{02}, p_1, p_2)| \over |[\vec p_1, \vec p_2]| \,\!</math>
 
Между плоскостями:
 
<math>|\vec {r_{01} - r_{02}}| * cos(\vec {r_{01} - r_{02}}, \vec({A_1, B_1, C_1}))
\,\!</math>
 
Между прямой и плоскостью:
 
==== Углы ====
 
Между прямыми:
 
<math>\cos\phi = {(\vec {n_1}, \vec {n_2} ) \over |\vec {n_1}|*|\vec {n_2}|} \,\!</math>
 
Между прямой и плоскостью:
 
<math>n_2 = (A,B,C) \,\! </math>
 
Между плоскостями:
 
==== Кривые второго порядка на плоскости ====
 
===== Эллипс =====
 
<math>
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1
\,\!</math>
 
Фокус расположен в точке c.
 
Эксцентриситет: <math>\varepsilon = {c\over a}\,\!</math>
 
Директрисы: <math> x = \pm {a \over \varepsilon} \,\! </math>
===== Гипербола =====
 
<math>
{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1
\,\!</math>
 
===== Парабола =====
 
<math>
y^2 = 2px
\,\!</math>