Нулевая матрица: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
RedBot (обсуждение | вклад) м робот добавил: is:Núllfylki |
… просто вы не умеете ИНТЕРЕСНО писать про тривиальные объекты. учитесь, пока я не в блоке! |
||
Строка 1:
'''Нулева́я ма́трица''' — это [[Матрица (математика)|матрица]], размера <math>m\times n,</math> все элементы которой равны [[0 (число)|нулю]].
<math>Z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
== Признаки ==
==Свойства==▼
Нулевая матрица, и только она, имеет [[ранг матрицы|ранг]] 0.
Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на ''любой'' вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.
Другим следствием этого факта является нулёвость ''всех'' матриц размера <var>m</var>×0 и 0×<var>n</var>, вследствие того, что ранг матрицы <var>m</var>×<var>n</var> не превосходит min(<var>m</var>, <var>n</var>).
▲== Свойства ==
* [[Произведение матрицы на число|Произведение нулевой матрицы на любое число]] равно ей самой:
::<math>a\,Z = Z.\,</math>
Строка 16 ⟶ 23 :
::<math>A \cdot Z = Z.\,</math>
* Квадратная нулевая матрица <var>n</var>×<var>n</var> при <math>n\geqslant 1</math> является [[вырожденная матрица|вырожденной]], и, как следствие, её [[определитель]]
*: Таким образом, такие матрицы не имеет [[Обратная матрица|обратной]]. Неквадратная, впрочем, тоже не имеет, что неудивительно.
* Квадратная нулевая матрица является [[Симметричная матрица|cимметричной]], и, как следствие, её [[Транспонированная матрица|транспонированная матрица]] равна ей самой:
Строка 23 ⟶ 32 :
* Квадратная нулевая матрица является также [[Кососимметричная матрица|косоcимметричной]]:
::<math>Z^{T} = -Z \,( = Z).</math>
: Только нулевая матрица является одновременно и cимметричной, и косоcимметричной.
* Последние два пункта дословно верны и в отношении [[эрмитова матрица|эрмитовости]] и [[косоэрмитова матрица|косоэрмитовости]] над полем комплексных чисел.
▲* Квадратная нулевая матрица является [[вырожденная матрица|вырожденной]], и, как следствие, её [[определитель]] равен нулю:
▲::<math>\left|Z\right| = 0.</math>
* Квадратная нулевая матрица является [[Верхнетреугольная матрица|верхнетреугольной]], [[Нижнетреугольная матрица|нижнетреугольной]] и [[Диагональная матрица|диагональной]] матрицей.
Строка 32 ⟶ 41 :
::<math>ZA = AZ = Z</math>.
Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является [[сложение|аддитивным]] [[нейтральный элемент|нейтральным элементом]] (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому [[линейное подпространство|линейному подпространству]]. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.
Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойства, касающихся ненулевых [[делитель нуля|делителей]]. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. [[упорядоченная пара|Па́ры]] ненулевых матриц <var>M</var> размера <var>m</var>×<var>l</var> и <var>N</var> размера <var>l</var>×<var>n</var> таких, что <math>N M = Z_{m\times n}</math> существуют тогда и только тогда, когда <math>l\geqslant 2</math>. Для существования <var>l</var>=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как <var>m</var>×0, так и 0×<var>n</var>, ненулевых нет вообще (см. [[#Признаки|выше]]). А для объяснения несуществования делителей с <var>l</var>=1 см. статью [[тензорное произведение]]. Таким образом, в [[алгебра матриц|алгебре матриц <var>n</var>×<var>n</var>]] над любым [[поле (алгебра)|полем]] имеются делители нуля тогда и только тогда, когда <math>n\geqslant 2</math>. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при <var>n</var>=1 и <var>n</var>=0.
== Многозначительный факт ==
Единственной нулевой матрицей, определитель которой отличен от нуля, является матрица 0×0.
Она же, причём над любым полем, является единственной нулевой матрицей, равной любой матрице своего размера (в том числе, [[единичная матрица|единичной]]). Этот факт намекает на то, что <math>0^0 = 1</math> (см. [[степени нуля]]), однако не все математики согласятся с таким выводом.
{{нет источников}}
[[Категория:Матрицы]]
| |||