Компактификация: различия между версиями

Нет описания правки
В [[общая топология|общей топологии]] '''компактификация''' — [[операция]], которая преобразует произвольные [[топологическое пространство|топологические пространства]] в компактные.
 
Формально компактификация пространства <math>X</math> определяется как пара <math>(Y,\;f)</math>, где <math>Y</math> компактно, <math>f:X \to Y</math> непрерывное отображение[[гомеоморфизм]] на свой образ <math>f(X)</math> и <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>.
 
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. Положим <math>f_1 \leqslant f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>. Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм]]а) элемент в этом порядке называется '''компактификацией Стоуна — Чеха'''<ref>Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».</ref> и обозначается <math>\beta X</math>. Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>.