Алгебраическое расширение: различия между версиями

викификация, шаблон (см комментарий)
м (робот добавил: nl:Algebraïsche uitbreiding)
(викификация, шаблон (см комментарий))
'''Алгебраи́ческое расшире́ние'''  — [[расширение поля]] <math>E\supset K</math>, каждый элемент <math>\alpha</math> которого алгебраичен над <math>K</math>, т.е.то существуетесть существует [[многочлен]] <math>f(x)</math> с коэффициентами из <math>K</math> для которого <math>\alpha</math> является корнем.
 
== Свойства ==
 
* все [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраичны.
 
Пусть ''K<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' алгебраичны.
 
В самом деле, если ''&alpha;''  — какой-нибудь элемент ''F'', то он по определению является корнем некоторого многочлена ''f(x)'' с коэффициентами ''a<sub>1</sub>,...a…a<sub>n</sub>'' из ''E''. Так как все эти ''a<sub>i</sub>'' алгебраичны над ''K'', то расширение ''K(a<sub>1</sub>,...a…a<sub>n</sub>)'' является [[Конечное расширение|конечным]] над ''K'', а так как ''&alpha;'' алгебраично над ''L=K(a<sub>1</sub>,...a…a<sub>n</sub>)'', то имеем по свойству башни конечных расширений, что ''L(&alpha;)'' конечно над ''K'', а элемент &alpha; алгебраичен над ''K''. Обратное утверждение очевидно.
 
Если ''&alpha;'' и ''&beta;'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(&alpha;,&beta;)=K(&alpha;)(&beta;)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''&alpha;+&beta;,&alpha;-&beta;,&alpha;&beta;,&alpha;/&beta;'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family:
== Литература ==
 
* Ван дер Варден Б. Л.  Алгебра -М:, Наука, 1975
* Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
 
{{rq|cleanup}}<!-- Имеется ввиду переделать символы типа <span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> в формулы Tex -->
 
[[Категория:Абстрактная алгебра]]