Кратность критической точки: различия между версиями

(скорр. Ссылку идентичную отображаемому тексту)
<math>
\frac{\partial^i f}{\partial x^i}(0) = 0 \quad (\forall i=1, \ldots, \mu), \quad
\frac{\partial^{\mu+1} f}{\partial x^{\mu+1}}(0) \neq 0. \quad \ (*)
</math>
 
Тогда в окрестности точки <math>0</math> функция <math>f</math> представима в виде
 
<math>f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)</math>
 
где <math>\varphi</math> и <math>a_{i}\,</math> — гладкие функции своих аргументов, <math>a_{i}(0,\ldots,0)=0\,</math> и <math>\varphi(x,y_1, \ldots, y_n)</math> не обращается в нуль.
 
Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]] для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных (теорема деления ''по Вейерштрассу''). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления ''по Мальгранжу'' или ''по Мазеру''.
 
Из теоремы деления вытекает следующее полезное следствие:
 
'''Следствие'''.
Если [[росток (математика)|росток]] гладкой функции <math>f(x,y_1, \ldots, y_n)</math> обращается в нуль на гиперплоскости <math>x=0</math>, то он представим в виде <math>f=x g(x,y_1, \ldots, y_n),</math> где <math>g</math> — гладкая функция.
 
'''Доказательство'''. Докажем утверждение для функции <math>f(x,y_1, \ldots, y_n),</math> удовлетворяющей условию (*) с некоторым конечным <math>\mu>0</math>. Добиться выполнения этого условия можно всегда, прибавив к функции <math>f</math> многочлен <math>c_{\mu}x^{\mu}+\cdots+c_1x</math>, что, очевидно, не меняет доказываемого утверждения. Тогда в окрестности точки <math>0</math> функция <math>f</math> представима в виде (**), где стоящее в скобках выражение тождественно обращается в нуль при <math>x=0</math>. Отсюда следует, что <math>a_{\mu}(y_1, \ldots, y_n) \equiv 0</math>. Вынося за скобки общий множитель <math>x</math>, получаем требуемое представление функции <math>f</math>.
 
== См. также ==