Ориентация: различия между версиями

16 байт убрано ,  12 лет назад
орфография
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
( Отмена правки 17837477 участника Gvozdet (обс))
(орфография)
{{Другие значения|Сексуальная ориентация}}
'''Ориентация''', в классическом случае  — выбор одного класса [[система координат|систем координат]], связанных между собой «положительно» в некотором определенном смысле.
Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.
В элементарной математике, ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».
 
Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств ([[многообразие|многообразий]], [[векторное расслоение|векторных расслоений]], [[комплекс Пуанкаре|комплексов Пуанкаре]] и  т.  д.).
Современный взгляд на ориентацию дается в рамках обобщенных теорий [[Когомология|когомологий]].
 
== Конечномерное векторное пространство ==
В случае векторного пространства конечной размерности над полем [[вещественное число|вещественных чисел]] две системы координат считаются связанными положительно, если положителен [[определитель]] матрицы перехода от одной из них к другой.
 
Для общего поля определение ориентации прeдтавляет трудности.
Например в комплексном пространстве <math>\mathbb C^n</math> комплексный репер <math>e_1,e_2,...,e_n</math> определяет действительный репер <math>e_1,e_2,...,e_n, ie_1,ie_2,...,ie_n</math> в том же пространстве, рассматриваемом как <math>\R^{2n}</math>, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря комплексная структура задает
ориентацию в <math>\R^{2n}</math>).
 
== Аффинное пространство ==
На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве <math>A</math> системы координат состоят из точки (начала <math>O</math>) и репера <math>\{e_i\}</math>, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера.
Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).
 
Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, т.то е.есть существует непрерывно зависящее от параметра <math>t\in[0, 1]</math> семейство координатных систем <math>O(t)</math>, <math>\{e_i(t)\}</math>, связывающее данные системы <math>O</math>, <math>\{e_i\}</math> и <math>O'</math>, <math>\{e'_i\}</math>.
 
При [[отражение (геометрия)|отражении]] в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.
 
Ориентация может быть задана порядком вершин <math>n</math>-мерного [[симплекс]]а ([[треугольник]]а в двумерном случае, [[тетраэдр]]а в трёхмерном),
Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера.
Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную [[перестановка|перестановку]].
Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным.
Каждая <math>(n-1)</math>-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.
 
== Многообразия ==
 
В связном [[многообразие|многообразии]] <math>M</math> системой координат служит [[атлас]]  — набор карт, покрывающих <math>M</math>.
Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны.
Это означает, что их степени равны <math>+1</math>, а в случае дифференцируемого многообразия положительны [[якобиан]]ы преобразования во всех точках.
Если ориентирующий атлас существует, то многообразие <math>M</math> называется ориентируемым.
В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу.
Выбор такого класса называется ориентацией многообразия.
Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке.
В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием [[Репер (дифференциальная геометрия)|репера]] в касательной плоскости в точке.
Если <math>M</math> имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берется репер, ориентирующий <math>M</math>, первый вектор которого направлен из <math>M</math>, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
 
=== Дезориентирующий контур ===
'''Дезориентирующий контур'''  — замкнутая [[кривая]] в [[многообразие|многообразии]], обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.
 
Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии <math>M</math>, причём однозначно определён [[гомоморфизм]] [[фундаментальная группа|фундаментальной группы]] <math>\pi_1(M)</math> на <math>\mathbb Z_2</math> с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.
 
Вдоль любого пути <math>q: [0, 1]\to M</math> можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно.
Тем самым ориентация в точке <math>q(0)</math> определяет орентациюориентацию в точке <math>q(1)</math>, и эта связь зависит от пути <math>q</math> лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах.
Если <math>q</math>  — петля, т.то е.есть <math>q(0) = q(1)=x_0</math>, то <math>q</math> называется '''дезориентирующим контуром''', если эти ориентации противоположны.
Возникает [[гомоморфизм]] [[фундаментальная группа|фундаментальной группы]] <math>\pi_1(M,x_0)</math> в группу порядка <math>2</math>: дезориентирующие петли переходят в <math>-1</math>, а остальные в <math>+1</math>.
По этому гомоморфизму строится [[накрытие]], являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия.
Оно называется ориентирующим (т.так к.как накрывающее пространство будет ориентируемым).
Этот же гомоморфизм определяет над <math>M</math> одномерное [[расслоение]], тривиальное, если и только если <math>M</math> ориентируемо.
Для дифференцируемого <math>M</math> оно может быть определено как расслоение <math>\Omega^n(M)</math> дифференциальных форм порядка <math>n=\operatorname{dim} M</math>.
Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задает [[форма объёма|форму объёма]] на <math>M</math> и одновременно ориентацию.
 
обобщённые гомологические многообразия.
 
== Псевдомногообразия ==
 
Триангулированное многообразие <math>M</math> (или [[псевдомногообразие]]) ориентируемо, если можно ориентировать
все <math>n</math>-мерные симплексы так, что два симплекса с общей
<math>(n-1)</math>-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации.
Замкнутая цепочка <math>n</math>-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую <math>(n-1)</math>-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи  — противоположные.
 
== Расслоения ==
 
Пусть над пространством <math>B</math> задано расслоение <math>p:E\to B</math> со стандартным слоем <math>F</math>.
Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определенное путем в <math>B</math> однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв  — ориентацией расслоения.
Например, [[лист Мёбиуса]], рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра  — обладает.
 
== Бесконечномерные пространства ==
 
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для
случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного [[банахово пространство|банахова]] или
[[топологическое векторное пространство|топологического векторного пространства]].
При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы.
Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации.
В качестве такой подгруппы обычно выбирается [[фредгольмов оператор|фредгольмова группа]], состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых
разность с тождественным изоморфизмом есть [[вполне непрерывный оператор]].