Соотношение Бретшнайдера: различия между версиями

Нет описания правки
:<math>e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(\angle A+\angle C)</math>
}}
Доказательство:
Вне четырехугольника построим внешним образом DABF~DCAD; DADE~DCAB, чтобы ÐCAD=ÐFBA; ÐACD=ÐFAB; ÐBAC=ÐADE; ÐBCA=ÐDAE. Из свойства подобных треугольников имеем: AF/a=c/e; BF/a=d/e; AE/d=b/e; DE/d=a/e. Отсюда AF=ac/e; AE=bd/e; BF=DE=ad/e. Сумма углов B и D в четырехугольнике FDBE равна сумме углов DBAD, т.е. равна 180o. Отсюда FB||DE. Также FB=DE, т.е. FBDE - параллелограмм. Отсюда f=BD=FE. В DAEF угол ÐEAF=ÐA+ÐC по построению. По теореме косинусов: f2=(ac/e)2+(bd/e)2-2abcd/(e)2cos(A+C). Умножением на e2 получаем требуемое:(ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C).
 
== Следствия ==
Анонимный участник