Трёхдиагональная матрица: различия между версиями

[[Система линейных алгебраических уравнений|Системы линейных алгебраических уравнений]] с такими матрицами встречаются при решении многих [[задача|задач]] математики и физики. Краевые условия <math>x_1</math> и <math>x_n</math>, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода <math>F(x=x_1)=F_1</math> определит первую строку в виде <math>C_1=1</math>, <math>B_1=0</math>, а условие второго рода <math>dF/dx(x=x_1)=F_1</math> будет соответствовать значениям <math>C_1=-1</math>, <math>B_1=1</math>.

 

 

: <math>x_i = \alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1},\,\!</math> где&nbsp;<math>~i=n-1,n-2,\dots,1.\qquad\qquad(2)</math>

 

A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0 \end{cases}</math>

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

После нахождения прогоночных коэффициентов <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,

: <math>x_i = {\alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1}},\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>i=n-1..1 \,\!</math>

 

: <math> x_n = \frac{F_n-A_n\beta_n}{C_n+A_n\alpha_n} </math>

: <math>~A' x=F'\qquad\qquad(1')</math>

c надиагональной матрицей

: <math>A' = \begin{pmatrix} C_1' & B_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0

\\ 0 & C_2' & B_2 & 0 & \cdots & 0 & 0