Ориентация: различия между версиями

85 байт добавлено ,  12 лет назад
нет описания правки
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Нет описания правки
Нет описания правки
== Конечномерное векторное пространство ==
В случае векторного пространства конечной размерности над полем [[вещественное число|вещественных чисел]] две системы координат считаются связанными положительно, если положителен [[определитель]] матрицы перехода от одной из них к другой.
 
=== Замечания ===
 
Для общего поля определение ориентации прeдтавляет трудности.
ориентацию в <math>\R^{2n}</math>).
 
==Вариации и обобщения==
=== Аффинное пространство ===
На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве <math>A</math> системы координат состоят из точки (начала <math>O</math>) и репера <math>\{e_i\}</math>, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера.
Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).
Каждая <math>(n-1)</math>-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.
 
=== Многообразия ===
 
В связном [[многообразие|многообразии]] <math>M</math> системой координат служит [[атлас]] — набор карт, покрывающих <math>M</math>.
Если <math>M</math> имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берется репер, ориентирующий <math>M</math>, первый вектор которого направлен из <math>M</math>, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
 
==== Дезориентирующий контур ====
'''Дезориентирующий контур''' — замкнутая [[кривая]] в [[многообразие|многообразии]], обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.
 
Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задает [[форма объёма|форму объёма]] на <math>M</math> и одновременно ориентацию.
 
==== На языке гомологий ====
Ориентация может быть определена на [[гомологии|гомологическом языке]]: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий <math>H^n(M,\Z)</math> (с замкнутыми носителями)
изоморфна <math>\Z</math>, и выбор одной из двух образующих задает ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений.
обобщённые гомологические многообразия.
 
=== Псевдомногообразия ===
 
Триангулированное многообразие <math>M</math> (или [[псевдомногообразие]]) ориентируемо, если можно ориентировать
Замкнутая цепочка <math>n</math>-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую <math>(n-1)</math>-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.
 
=== Расслоения ===
 
Пусть над пространством <math>B</math> задано расслоение <math>p:E\to B</math> со стандартным слоем <math>F</math>.
Например, [[лист Мёбиуса]], рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.
 
=== Бесконечномерные пространства ===
 
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для