Квазиклассическое приближение: различия между версиями

где &Phi;' означает производную от &Phi; по ''x''. Разделим <math>\Phi'(x)</math> на реальную и меимуюмнимую части вводя реальные функции ''A'' и ''B'':

Тогда амплитуда волновой функции <math>e^{A(x)}</math>, а фаза — <math>B(x)</math>. Из уравнениуравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням <math> \hbar </math>. Из уравнений мы можем видеть, что мтепеннойстепенной ряд должен начинаться со слагаемого <math> \hbar ^ {-1} </math>, чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой сиепени [[постоянная Планка|постоянной Планка]] насколько это возможно.

С точностью до первый порядка разложения кравненияуравнения запишутся в виде

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. послеПосле аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

С другой стороныбстороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим <math>B_0(x) = 0</math> и получим

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости полйчимполучим

Это очевидно, что из-зиза знаменателя, оба из этих приближенных решений расходятся около классической точки поворота, где <math> E = V (x) </math> и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера, частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера, частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Решение его вблизиточеквблизи точек поворота выглядит следующим образом