Открыть главное меню

Изменения

 
Касательную прямую можно через точку <math>A</math> на кривой <math>\gamma</math> определить как предельное положение секущей <math>AB</math>, где <math>B\to A</math>, <math>B\in\gamma</math>.
 
[[Файл:Derivative-SVG.svg|thumb|250px|right|]]
Пусть <math>f\colon U(x_0) \to \R</math> и <math>x_1 \in U(x_0).</math> Тогда прямая линия, проходящая через точки <math>(x_0,f(x_0))</math> и <math>(x_1,f(x_1))</math> задаётся уравнением
: <math>y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).</math>
Эта прямая проходит через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> для любого <math>x_1\in U(x_0),</math> и её угол наклона <math>\alpha(x_1)</math> удовлетворяет уравнению
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.</math>
В силу существования производной функции <math>f</math> в точке <math>x_0,</math> переходя к [[Предел функции|пределу]] при <math>x_1 \to x_0,</math> получаем, что существует предел
: <math>\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0),</math>
а в силу непрерывности [[арктангенс]]а и предельный угол
: <math>\alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0).</math>
Прямая, проходящая через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий <math>\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0),</math> задаётся уравнением касательной:
: <math>y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
 
== Касательная к окружности ==