Википедия

Соотношение Бретшнайдера: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
оформление, шаблон
Строка 1:
[[ImageФайл:Bretschneider's formula.svg|right|frame|Четырехугольник]]
'''Соотношение [[Бретшнайдер]]а'''  — соотношение в [[четырёхугольник]]е, аналог [[Теорема косинусов|теоремы косинусов]]:
{{Теорема|Между сторонами ''a, b, c, d'' и противоположными углами <math>\angle A,\angle C</math> и диагоналями ''e, f'' простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:
:<math>e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(\angle A+\angle C)</math>
}}
Доказательство:
Вне четырехугольника построим внешним образом DABF~DCAD; DADE~DCAB, чтобы ÐCAD=ÐFBA; ÐACD=ÐFAB; ÐBAC=ÐADE; ÐBCA=ÐDAE. Из свойства подобных треугольников имеем: AF/a=c/e; BF/a=d/e; AE/d=b/e; DE/d=a/e. Отсюда AF=ac/e; AE=bd/e; BF=DE=ad/e. Сумма углов B и D в четырехугольнике FDBE равна сумме углов DBAD, т.е.то есть равна 180o. Отсюда FB||DE. Также FB=DE, т.е.то есть FBDE - — параллелограмм. Отсюда f=BD=FE. В DAEF угол ÐEAF=ÐA+ÐC по построению. По теореме косинусов: f2=(ac/e)2+(bd/e)2-2abcd/(e)2cos(A+C). Умножением на e2 получаем требуемое:(ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C).
 
== Следствия ==
* Для [[Описанная окружность|вписанного]] 4-угольника соотношение вырождается в [[Теорема Птолемея|теорему Птолемея]].
* Если 4-угольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается [[теорема Стюарта]].
[[теорема Стюарта]].
 
{{rq|stub|topic=math|cleanup|wikify}}
 
== Источник ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Соотношение_Бретшнайдера