Список интегралов от тригонометрических функций: различия между версиями

везде
(везде)
: <math>\int\frac{\cos cx}{x^n} dx = -\frac{\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{c}{n-1}\int\frac{\sin cx}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1) cos^{n-1} cx} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n>1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\tanoperatorname{tg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\cotoperatorname{ctg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\tanoperatorname{tg}{cx}{2} + \frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\frac{cx}{2}\right|</math>
 
: <math>\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{x}\cotoperatorname{ctg}{cx}{2}+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\frac{cx}{2}\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{1+\cos cx} = x - \frac{1}{c}\tanoperatorname{tg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{1-\cos cx} = -x-\frac{1}{c}\cotoperatorname{ctg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\cos c_1x\cos c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}+\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!</math>
== Интегралы, содержащие только [[тангенс]] ==
 
: <math>\int\tanoperatorname{tg} cx\;dx = -\frac{1}{c}\ln|\cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\tanoperatorname{tg}^n cx\;dx = \frac{1}{c(n-1)}\tanoperatorname{tg}^{n-1} cx-\int\tanoperatorname{tg}^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\tanoperatorname{tg} cx + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\tanoperatorname{tg} cx - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\tanoperatorname{tg} cx\;dx}{\tanoperatorname{tg} cx + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\tanoperatorname{tg} cx\;dx}{\tanoperatorname{tg} cx - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[секанс]] ==
 
:<math>\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\left| \sec{cx} + \tanoperatorname{tg}{cx}\right|}</math>
 
:<math>\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \sin {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tanoperatorname{tg}{\frac{x}{2}}</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[косеканс]] ==
 
:<math>\int \csc{cx} \, dx = -\frac{1}{c}\ln{\left| \csc{cx} + \cotoperatorname{ctg}{cx}\right|}</math>
 
:<math>\int \csc^n{cx} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{cx} \cos{cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!</math>
== Интегралы, содержащие только [[котангенс]] ==
 
: <math>\int\cotoperatorname{ctg} cx\;dx = \frac{1}{c}\ln|\sin cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\cotoperatorname{ctg}^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\cotoperatorname{ctg}^{n-1} cx - \int\cotoperatorname{ctg}^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1 + \cotoperatorname{ctg} cx} = \int\frac{\tanoperatorname{tg} cx\;dx}{\tanoperatorname{tg} cx+1}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1 - \cotoperatorname{ctg} cx} = \int\frac{\tanoperatorname{tg} cx\;dx}{\tanoperatorname{tg} cx-1}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только синус и косинус ==
 
: <math>\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{(\cos cx\pm\sin cx)^2} = \frac{1}{2c}\tanoperatorname{tg}\left(cx\mp\frac{\pi}{4}\right)</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)</math>
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \cos cx\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\tanoperatorname{tg}^2\frac{cx}{2}+\frac{1}{2c}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+-\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operatorname{ctg}^2\frac{cx}{2}-\frac{1}{2c}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1+\sin cx)} = \frac{1}{4c}\cotoperatorname{ctg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2c}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)} = \frac{1}{4c}\tanoperatorname{tg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\sin cx\cos cx\;dx = \frac{1}{2c}\sin^2 cx\,\!</math>
:<math>\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = \frac{\sin^{n+1} cx\cos^{m-1} cx}{c(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n cx\cos^{m-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tanoperatorname{tg} cx\right|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin cx\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin cx\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\sin cx+\frac{1}{c}\ln\left|\tanoperatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1)\cos^{n-1}cx}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\tanoperatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|\right)</math>
 
: <math>\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos cx}{c\sin^{n-1} cx)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx}\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>
== Интегралы, содержащие только синус и тангенс ==
 
: <math>\int \sin cx \tanoperatorname{tg} cx\;dx = \frac{1}{c}(\ln|\sec cx + \tanoperatorname{tg} cx| - \sin cx)\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\tanoperatorname{tg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n-1)}\tanoperatorname{tg}^{n-1} (cx) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только косинус и тангенс ==
 
: <math>\int\frac{\tanoperatorname{tg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\tanoperatorname{tg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только синус и котангенс ==
 
: <math>\int\frac{\cotoperatorname{ctg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\cotoperatorname{ctg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только косинус и котангенс ==
 
: <math>\int\frac{\cotoperatorname{ctg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(1-n)}\tanoperatorname{tg}^{1-n} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только тангенс и котангенс ==
 
: <math>\int \frac{\tanoperatorname{tg}^m(cx)}{\cotoperatorname{ctg}^n(cx)}\;dx = \frac{1}{c(m+n-1)}\tanoperatorname{tg}^{m+n-1}(cx) - \int \frac{\tanoperatorname{tg}^{m-2}(cx)}{\cotoperatorname{ctg}^n(cx)}\;dx\qquad\mbox{( }m + n \neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
[[Категория:Списки интегралов]]