Теория операторов: различия между версиями

Отображение <math>T</math> из [[векторное пространство|векторного пространства]] <math>X</math> в [[векторное пространство]] <math>Y</math> называется [[линейный оператор|линейным оператором]] если <math>T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)</math> для любых <math>x</math> и <math>y</math> в <math>X</math> и любых скаляров <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Часто пишут <math>Tx</math> вместо <math>T(x)</math>. Линейный оператор из [[нормированное пространство|нормированного пространства]] <math>X</math> в [[нормированное пространство]] <math>Y</math> называется ограниченным если найдется положительное вещественное число <math>M</math> такое что <math>\lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert</math> для всех <math>x</math> в <math>X</math>. Наименьшая константа <math>M</math> удовлетворяющая такому условию называется ''нормой оператора'' <math>T</math> и обозначается <math>\lVert T\rVert</math>. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он [[непрерывное отображение|непрерывен]]. Под термином «оператор» в [[функциональный анализ|функциональном анализе]] обычно понимают ограниченный линейный оператор.

 

 

В частности, <math>\lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert</math> и <math>\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert</math> для любых <math>T,\;S\in L(X,\;Y)</math> и произвольного скаляра <math>\alpha</math>. Пространство <math>L(X,\;Y)</math> является [[Банахово пространство|Банаховым]] тогда и только тогда когда <math>Y</math> — [[Банахово пространство|Банахово]].