Частичный предел последовательности: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Примеры: дополнение |
→Свойства: дополнение |
||
Строка 59:
* Частичным пределом последовательности может быть только её [[предельная точка]], и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
* У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве [[Вещественное число|вещественных чисел]]). Если же считать <math>~-\infty</math> и <math>~+\infty</math> допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
* Числовая последовательность <math>~\{x_n\}</math> сходится к <math>~a</math> тогда и только тогда, когда <math>\varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=a</math>.
* Для любого наперёд взятого положительного числа <math>~\varepsilon</math> все элементы ограниченной числовой последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, начиная с некоторого номера, зависящего от <math>~\varepsilon</math>, лежат внутри интервала <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)</math>.
| |||