Алгебра над кольцом: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 1:
{{другие значения|Алгебра (значения)}}
Пусть <math>K\displaystyle</math> — произвольное [[Коммутативная операция|коммутативное]] [[кольцо (алгебра)|кольцо]] с единицей.
:<math>f:A\times A\rightarrow A</math>
называется '''алгеброй над <math>K\displaystyle</math>''' или '''<math>K\displaystyle</math>-алгеброй''', если для любых элементов▼
определенно произведение согласно равенству
:<math>ab=f(a,b)\displaystyle</math>
причем для всех <math>k,\;l\in K</math> и <math>a,\;b\in A</math> справедливы соотношения▼
▲называется '''алгеброй над <math>K\displaystyle</math>''' или '''<math>K\displaystyle</math>-алгеброй'''
▲
# <math>a(b+c)=ab+ac\displaystyle</math>
# <math>(a+b)c=ac+bc\displaystyle</math>
# <math>(k+l)a=ka+la\displaystyle</math>
# <math>k(a+b)=ka+kb\displaystyle</math>
Строка 10 ⟶ 15 :
# <math>k(ab)=(ka)b=a(kb)\displaystyle</math>
# <math> 1a=a\displaystyle</math>, где <math>1\displaystyle</math> — единица кольца <math>K\displaystyle</math>
Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.
Для <math>a\displaystyle</math>, <math>b\in A</math>
Строка 34 ⟶ 41 :
целое число) обычно, то есть как сумму <math>n\displaystyle</math> копий <math>a\displaystyle</math>.
Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.
Если вместо билинейного отображения <math>f\displaystyle</math> выбрать [[полилинейное отображение]]
:<math>g:A^n\rightarrow A</math>
и определить произведение согласно правилу
:<math>a_1...a_n=g(a_1,...,a_n)\displaystyle</math>
то полученная алгебраическая структура называется <math>n\displaystyle</math>-алгеброй.
== Алгебра над полем ==
| |||