Википедия

Тензор энергии-импульса: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Строка 49:
== Канонический тензор энергии-импульса ==
 
В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.
В специальной теории относительности существует также канонический ТЭИ, получаемый вариацией по полевым величинам <math>q^i</math> (в галилеевых координатах)
 
: <math>{T_c}^\mu_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1}q^i_{,\nu}\frac{\partial L_m}{\partial q^i_{,\mu}}- g^\mu_\nu L_m.</math>▼
Для лагранжиана <math> \mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i ) </math>, зависящего от полевых функций <math> \phi_i \, </math> и их производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:
Закон сохранения имеет вид
: <math>T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.</math>
\begin{cases}
Этот тензор несимметричен, но может быть приведён (неоднозначно) к симметричному добавлением тензорной величины <math>\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,</math> где тензор <math>\psi^{\mu\nu\lambda}\;</math> антисимметричен по двум последним индексам <math>\psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu}.</math>▼
x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\
<!--Согласно теореме Нётер данная величина сохраняется в силу -->
\phi_i(x) \to \phi_i^{\prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x).
\end{cases}
</math>
Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранения сохранение '''канонического ТЭИ''' (записан в галилеевых координатах)
▲: <math> {{T_c}^\mu_mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1}q^i_{,\nu} \frac{\partial L_m\mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial q^i_(\partial_{,\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - g\mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu L_m., </math>
который имеет вид
: <math> \partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.</math>
Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму
: <math> T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g^{\mu\nu} . </math>
 
▲Этот тензор несимметриченнеоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, новообще можетговоря, бытьнесимметричного приведёнтензора (неоднозначно)<math> T^{\mu\nu}\, </math> к симметричномусимметризованному виду добавлением тензорной величины <math>\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,</math> где тензор <math>\psi^{\mu\nu\lambda}\;</math> антисимметричен по двум последним индексам <math>\psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu}. \, </math>. Действительно, для '''симметризованного ТЭИ'''
: <math> \Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda} </math>
автоматически следует закон сохранения <math> \partial_\mu \Theta^{\mu\nu} = 0 . </math>
 
== Тензор энергии-импульса в классической электродинамике ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор_энергии-импульса