Википедия

Модулярная группа: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м PSL(2,Z)
Нет описания правки
Строка 1:
[[Файл:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png|300px|right]]
'''Модулярная группа'''  — [[Группа (математика)|группа]] <math>\Gamma</math> всех [[дробно-линейноеПреобразование преобразованиеМёбиуса|дробно-линейных преобразований Мёбиуса]] вида
: <math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},</math>
где <math>a,\;b,\;c,\;d</math>  — [[целые числа]], причём <math>ad-bc=1</math>.
 
Модулярная группа отождествляется[[Гомоморфизм сгрупп|гомеоморфна]] [[Факторгруппа|факторгруппойфакторгруппе]] <math>PSL(2,\Z)=SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\}</math>. Здесь <math>SL(2,\;\Z)</math>  — группа [[матрица (математика)|матриц]]
: <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},</math>
где <math>a,\;b,\;c,\;d</math>  — [[целые числа]], <math>ad-bc=1</math>.
 
Модулярная группа является [[действие группы|дискретной группой преобразований]] верхней [[комплексное число|комплексной]] полуплоскости <math>H=\{z:\mathrm{Im}\,z>0\}</math> ([[плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]]) и допускает представление образующими
Строка 15:
Для произвольного преобразования <math>g(z) = \frac{az+b}{cz+d}</math> из модулярной группы справедливо равенство:
: <math>\mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1)</math>
Поскольку мнимая часть <math>z</math> ненулевая, а числа <math>c</math> и <math>d</math>  — целые, не равные нулю одновременно, то величина <math>|cz+d|^2</math> отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.
 
'''[[Фундаментальная область]]''' (каноническая) модулярной группы  — это замкнутая область
: <math>D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}.</math>
Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из <math>D</math>. Из этого следует, что для того, чтобы две точки <math>z,\;g(z)</math> принадлежали <math>D</math>, их мнимая часть должна быть одинакова: <math>|cz+d|^2=1</math>. Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:
# <math>g(z)=z,\;z</math>  — любая точка;
# <math>g(z)=z-1,\;\mathrm{Re}\,z=1/2;</math>
# <math>g(z)=z+1,\;\mathrm{Re}\,z=-1/2;</math>
# <math>g(z)=-1/z,\;|z|=1.</math>
В частности, все точки области <math>D</math> имеют тривиальный [[стабилизатор]], кроме трёх:
# <math>\mathrm{St}(i)=\{1,\;S\};</math>
# <math>\mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\};</math>
# <math>\mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}.</math>
Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки <math>D</math> отображаются инъективно, тогда как граничные  — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой <math>\mathrm{Re}\,z=0</math>.
 
Чтобы показать, что всякая точка из <math>H</math> [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэтна]] некоторой точке из <math>D</math>, рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями <math>S</math> и <math>T</math>, точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит <math>D</math> (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования <math>S</math> можно было бы строго увеличить мнимую часть).
 
Легко показать также, что преобразования <math>S</math> и <math>T</math> порождают всю модулярную группу. Пусть <math>g</math>  — произвольное модулярное преобразование и <math>z</math>  — внутренняя точка <math>D</math>. Как описано выше, найдём преобразование <math>g'</math> переводящее <math>g(z)</math> в область <math>D</math>. Точки <math>z</math> и <math>g'g(z)</math> лежат в <math>D</math>, причём <math>z</math>  — внутренняя, следовательно, <math>g'g(z)=z</math>. Тогда преобразование <math>g'g</math> лежит в стабилизаторе точки <math>z</math>, который тривиален. Следовательно, <math>g=(g')^{-1}</math> лежит в группе, порождённой преобразованиями <math>S</math> и <math>T</math>.
 
Интерес к модулярной группе связан с изучением [[модулярная функция|модулярных функций]], [[риманова поверхность|римановой поверхностью]] которых является [[факторпространство]] <math>H/\,\Gamma</math>, отождествляемое с фундаментальной областью <math>G</math> модулярной группы. [[Фундаментальная область]] <math>G</math> имеет конечную площадь, то есть модулярная группа есть [[фуксова группа]] первого рода.
Строка 39:
[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
 
[[en:Modular group]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Модулярная_группа