Абсолютная непрерывность: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Перенаправил на общую страницу "абсолютная непрерывность", см. обсуждение |
м отмена некорректного переноса текста |
||
Строка 1:
Функция <math>f\left(x\right)</math> называется '''абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией''' на конечном или бесконечном [[Отрезок|отрезке]], если <math>\forall \varepsilon > 0</math>, <math> \exist \delta > 0 </math> такое, что для любого ''конечного'' набора непересекающихся [[Интервал числовой оси|интервалов]] <math>\left(x_i,y_i\right)</math> [[Область определения|области определения]] функции <math>\,\!f</math>, который удовлетворяет условию
<math>\sum \left( y_i - x_i \right)< \delta </math>, выполнено
<math>\sum \left|f\left( y_i \right) - f\left( x_i \right)\right| < \varepsilon</math>.
Абсолютно непрерывная на [[отрезок#Отрезок числовой прямой|отрезке]] функция является [[Равномерно непрерывная функция|равномерно непрерывной]], и, следовательно, [[Непрерывная функция|непрерывной]]. Обратное неверно.
== Свойства абсолютно непрерывных функций ==
* Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины [[Вариация функции#Связанные определения|ограниченную вариацию]].
* Абсолютно непрерывные функции образуют [[векторное пространство]]. Более того, они образуют замкнутое [[подпространство]] в пространстве функций ограниченной вариации.
* Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
* Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
* (Лебег) Если <math> F </math> абсолютно непрерывна на <math>(a,b)</math>, то <math>F'</math> является интегрируемой, и для [[Почти всюду|почти всех]] <math>x\in[a,b]</math>
:<math>\int\limits_a^b {F'(t)\,dt}=F(b)-F(a)</math>.
* Обратно, функция, имеющая на [[Промежуток (математика)|интервале]] [[Интеграл Лебега#Замечания|интегрируемую по Лебегу]] [[обобщённая производная|обобщённую производную]], является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества [[Мера Лебега|лебеговой меры]] ноль.
* [[Липшицева функция]] является абсолютно непрерывной.
== Примеры ==
Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:
* [[Функция Кантора]];
* функция
::<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases} </math>
: на конечных интервалах, содержащих 0;
* функция ''ƒ''(''x'') = ''x''<sup> 2</sup> на неограниченных интервалах.
== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Никольский, Сергей Михайлович|Никольский С.М.]]
|название = Курс математического анализа
|издание = 3-е
|год = [[1983 год|1983]]
|том = 2
|место = М.
|страниц = 544
|isbn = 5-02-014425-8
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
}}
* {{книга
|автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г.Е.]]
|название = Математический анализ. Специальный курс
|издание = 2-е
|год = [[1961 год|1961]]
|место = М.
|страниц = 436
|издательство = [[Физматлит]]
}}
{{math-stub}}
[[Категория:Математический анализ]]
[[cs:Absolutně spojitá funkce]]
[[de:Absolute Stetigkeit]]
[[en:Absolute continuity]]
[[fi:Absoluuttinen jatkuvuus]]
[[fr:Absolue continuité]]
[[it:Continuità assoluta]]
[[ja:絶対連続]]
[[nl:Absolute continuïteit]]
[[pl:Ciągłość bezwzględna]]
[[uk:Абсолютна неперервність]]
[[zh:绝对连续]]
| |||