Симметризация и антисимметризация тензора: различия между версиями

[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Строка 1:
'''Симметризация и антисимметризация''' [[тензор]]а  — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора <math>T_{ij}</math>  — это симметричный тензор <math>\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)</math>, а антисимметризация  — антисимметричный тензор <math>\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)</math>.
 
'''Операция симметризации''':
: <math>A^{n_1\ldots n_p}_{(m_1\ldots m_k)m_{k+1}m_q}=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma(m_1 \ldots m_k)}A^{n_1\ldots n_p}_{\sigma(m_1)\ldots \sigma(m_k)m_{k+1}m_q}</math>.
Суммирование ведётся по всем [[перестановка]]м <math>\sigma(m_1\ldots m_k)</math> индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к [[тензорное произведение|тензорному произведению]] нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:
: <math>A_{(klm)}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})</math>.
 
'''Операция антисимметризации''' или '''альтернирования''' определяется так:
: <math>A^{n_1\ldots n_p}_{[m_1\ldots m_k]m_{k+1}m_q}=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_k)}(-1)^{\sgn \sigma} A^{n_1\ldots n_p}_{\sigma(m_1)\ldots \sigma(m_k)m_{k+1}m_q}</math>.
Суммирование снова ведётся по всем перестановкам <math>\sigma(m_1\ldots m_k)</math> индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом [[чётность перестановки|чётности перестановки]] <math>\sgn \sigma</math>. Примеры:
: <math>A_{[klm]}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})</math>;
: <math>A_k^{q[l}B_{pr}^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^{ql} B_{pr}^m - A_k^{qm} B_{pr}^l)</math>.
 
Некоторые авторы предпочитают не писать множитель <math>\frac{1}{k!}</math> в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.
 
== Свойства симметризации и антисимметризации ==
:* Если <math>T_{i_1\ldots i_n}</math> симметричен по <math>i_1\ldots i_n,</math> то симметризация по этим индексам совпадает с <math>T,</math> а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности <math>T</math> по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с <math>T</math>, а симметризация даст нулевой тензор.
:* Если <math>T_{ij} \in V\otimes V,</math> то <math>T_{(ij)} \in V \vee V,</math> <math>T_{[ij]} \in V \wedge V.</math> Здесь <math>\vee</math>  — [[Симметричное произведение|симметричное]], а <math>\wedge</math>  — [[Внешнее произведение|внешнее]] произведение векторных пространств.
{{rq|img|sources|iwiki|topic=math}}
 
[[Категория:Тензорное исчисление]]