Гомоморфизм: различия между версиями

76 байт добавлено ,  10 лет назад
(разрешение неоднозначностей)
{{distinguish|гомеоморфизм|гомеоморфизмом}}
'''Гомоморфизм''' (от {{lang-grc|ὁμός}} — равный, одинаковый и {{lang-grc2|μορφή}}  — вид, форма) — это [[морфизм]] в категории [[алгебраическая система|алгебраических систем]]. Это отображение алгебраической системы '''А''', сохраняющее основные операции и основные соотношения.
 
Например, рассмотрим [[группа (математика)|группы]] <math>~(G_1,*)</math>, <math>~(G_2,\times)</math>. Отображение <math>~f \colon G_1 \to G_2</math> называется гомоморфизмом групп <math>~G_1</math> и <math>~G_2</math>, если оно одну групповую операцию переводит в другую: <math>~f(a*b)=f(a)\times f(b)</math>.
 
Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма предложена известной группой французских математиков N. Bourbaki в их книге "«Теория множеств"» (Глава 5).
 
== Связанные определения ==
* '''Гомоморфный образ''' — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
* '''[[Ядро (алгебра)|Ядро]] гомоморфизма'''
** для гомоморфизма [[абелева группа|абелевых групп]] (в частности для [[кольцоКольцо (математика)|колец]], [[векторное пространство|векторных пространств]] и т. д.) — [[прообраз]] нуля,
** для общих [[группаГруппа (математика)|групп]] — прообраз единицы.
 
== Свойства ==
Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен [[Факторгруппа|факторгруппе]] по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).
 
== Типы гомоморфизмов ==
* [[Мономорфизм]]  — однозначный ([[инъекция (математика)|инъективный]]) гомоморфизм
* [[Эпиморфизм]]  — [[сюръекция|сюръективный]] гомоморфизм
* [[Изоморфизм (математика)|Изоморфизм]] — взаимно однозначный ([[биекция|биективный]]) гомоморфизм
 
* [[Эндоморфизм]] — гомоморфизм в само множество
* [[Автоморфизм]]  — взаимно однозначный гомоморфизм в само множество
 
== См. также ==