Википедия

Гравитационная энергия: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
Строка 1:
'''Гравитационная энергия''' — [[потенциальная энергия]] системы тел (частиц), обусловленная их взаимным [[Гравитация|тяготением]].
 
'''Гравитационно-связанная система''' — система, в которой гравитационная энергия больше суммы всех остальных видов энергий (помимо [[энергия покоя|энергии покоя]]). Полная энергия системы, равная сумме гравитационной и [[Кинетическая энергия|кинетической энергии]], постоянна.
 
Для бесконечно удалённых, то есть для [[Гравитация|гравитационно]] не взаимодействующих тел, гравитационную энергию принято считать равной [[Ноль (число)|нулю]], то есть для любой системы тел, находящихся на конечных расстояниях, гравитационная [[энергия]] отрицательна. Полная энергия системы, равная сумме гравитационной и [[Кинетическая энергия|кинетической энергии]] постоянна, для изолированной системы гравитационная энергия является [[Энергия связи|энергией связи]]. Системы с положительной полной энергией не могут быть стационарными.
 
== В [[Классическая механика|классической механике]] ==
Для двух тяготеющих точечных тел с массами <math>\ M</math> и <math>\ m</math> гравитационная энергия <math>\ E_g</math> равна:
: <math>U_g\ E_g = - G {M m\over Rx}</math>,
где:
: <math>\ G</math> — гравитационная постоянная;
: <math>\ Rx</math> — расстояние между центрами масс тел.
 
Этот результат получается непосредственно из [[Гравитация|закона тяготения Ньютона]],при условии, что для бесконечно удалённых тел гравитационная энергия согласноравна которому0. выражениеВыражение для гравитационной силы имеет вид
: <math>F_g = G{M m\over Rx^2}</math>
где:
: <math>F_g</math> — сила гравитационного взаимодействия
С другой стороны между силой и потенциальной энергии существуетдолжна существовать связь:
: <math>F_g = \frac{dU_gdE_g}{dRdx}</math>
Тогда:
: <math>U_gE_g = const - G {M m\over Rx}</math>,
Константа в этоэтом выражении может быть выбрана произвольно. Из соображений удобства её обычно выбирают равной нулю, чтобы при Rx, стремящемуся к бесконечности, <math>U_gE_g</math> стремилось к нулю. Таким образом получается приведенная в начале статьи формула для гравитационной энергии. Однако, такое граничное условие трудно совместить с <<[[Закон сохранения энергии-История открытия-Герман Гельмгольц|принципом Гельмгольца]]>>. Поэтому, интересно получить формулу для гравитационной энергии, используя другие граничные условия.
Постоянную можно определить из условиия на поверхности тела с массой М. Представим x как:
 
: <math>U_g\ x = mghR + h </math>,▼
Этот же результат верен для малого тела, находящегося вблизи поверхности большого. В этом случае R можно считать равным <math>h + R_M</math>, где <math> R_M</math> — радиус тела массой M, а h — расстояние от центра тяжести тела массой m до поверхности тела массой M.
R - радиус тела с массой М, а h - расстояние от центра тяжести тела с массой m до поверхности тела с массой М. Положим, что на поверхности тела, где h = 0:
: <math>U_gE_g = - G {M m\over R_MR}</math>,▼
Тогда:
: <math> const = 2G {M m\over R}</math>,
а выражение для гравитационной энергии приобретает вид:
: <math>E_g = G {M m\over R}(2 - {R\over R+h}) </math>,
С учётом <<[[Закон сохранения энергии-История открытия-Герман Гельмгольц|принципа Гельмгольца]]>> для нашего простого слуая можно считать справедливым следующее выражение:
: <math>\frac{dE_g}{dx} = -\frac{dE_k}{dx} = F_g</math>
Где <math>\ E_k </math> - кинетическая энергия тела с массой m.
Тогда
: <math>\ E_k = G {M m\over x}</math>,
Суммарная (кинетическая плюс гравитационная) энергия получается постоянной и равной:
: <math>\ E_s = 2G {M m\over R}</math>,
Если под потенциальной энергией <math>\ E_p</math> тела массой m понимать разницу между значениями гравитационной энергии на высоте h и на поверхности тела массой М, <<[[Потенциальная энергия|то потенциальная энергия]]>> равна:
: <math>E_p = G {M m\over R}(1 - {R\over R+h}) </math>,
<<[[Потенциальная энергия|ускорение свободного падения g]]>> равно
: <math> g = G {M \over (R + h)^2}</math>, и
: <math>E_p = mgh(1 +{h\over R}) </math>,
Если h намного меньше R, то получается известная формула:
: <math>E_p = mgh </math>,
Т.о. <<[[Закон сохранения энергии-История открытия-Герман Гельмгольц|принципа Гельмгольца]]>> можно сформулировать следующим образом:
При гравитационном взаимодействии двух тел массой M и m сумарная (кинетическая плюс гравитационная) энергия получается постоянной и равной:
: <math>\ E_s = 2G {M m\over R}</math>,
При h стремящемуся к бесконечности кинетическая энергия стремится к нулю, а гравитационная к суммарной энергии. А при h стремящемуся к нулю значение кинетической энергии стремится к значению гравитационной:
: <math>\ E_k = E_g = G {M m\over R}</math>,
Таким образом,[[Вторая космическая скорость]] v определяется как максимальная скорость, которую может достичь тело массой m при приближении под действием гравитационных сил к телу массой M.
: <math>\ E_k = G {M m\over R} = {m v^2\over 2} </math>,
 
На поверхности тела M имеем:
▲: <math>U_g = - G {M m\over R_M}</math>,
Если размеры тела <math>M</math> много больше размеров тела <math>m</math>, то формулу гравитационной энергии можно переписать в следующем виде:
: <math>U_g = - G {M m\over R_M + h} = - m G \frac{M}{R_M}\frac{1}{1+h/R_M} \approx - mG\frac{M}{R_M}\left(1 - \frac{h}{R_M}\right) = mgh - m\frac{GM}{R_M}</math>,
где величину <math>g = \frac{GM}{R^2_M}</math> называют ускорением свободного падения. При этом член <math>m\frac{GM}{R_M}</math> не зависит от высоты поднятия тела над поверхностью и может быть исключён из выражения путём выбора соответствующей константы. Таким образом для малого тела, находящегося на поверхности большого тела справедлива следующая формула
▲: <math>U_g = mgh</math>
В частности, эта формула применяется для вычисления потенциальной энергии тел, находящихся вблизи поверхности Земли.
 
== В [[Общая теория относительности|ОТО]] ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Гравитационная_энергия