Конечномерное пространство: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 17:
* Пусть X — конечномерное пространство и <math>\{x_1, x_2,...,x_k\}</math> — [[Линейная независимость|линейно-независимая]] система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до [[базис]]а.
* Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
* В любом конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> можно ввести [[скалярное произведение]]. Например, в пространстве <math>X</math> с фиксированным базисом, размерности <math>n</math>, можно ввести скалярное произведение по правилу:<br /> <math>\forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k</math>, где <math>\{a_k\},\{b_k\}</math> — компоненты векторов <math>x_1</math> и <math>x_2</math> соответственно.<br /> Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> можно ввести [[Нормированное пространство|норму]] и [[Метрическое пространство|метрику]]. Как следствие, можно получить что:
** <math>X</math> — [[рефлексивное пространство]]<ref>Это факт можно получить как при помощи [[гильбертово пространство|теоремы Рисса-Фреше]], так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.</ref>.
** Пространство <math>X^*</math>, [[Сопряжённое пространство|сопряжённое]] к некоторому конечномерному пространству <math>X</math>, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью <math>X</math>.
| |||