Интерполирование с кратными узлами: различия между версиями

[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
м викификация, оформление
Строка 1:
'''Интерполирование с кратными узлами''' - — задача о построении [[многочлен]]а минимальной [[степень многочлена|степени]], принимающего в некоторых точках (узлах [[интерполяция|интерполяции]]) заданные значения, а также заданные значения [[производная функции|производных]] до некоторого [[производная функции#Производные высших порядков|порядка]].
 
Показывается, что существует единственный многочлен <math>\ P_n(x)</math> степени <math>\ n</math>, удовлетворяющий условиям:
: <math>f^{(k)}(x_i)=f_{i,k}, i=1,\cdots,m; k=0,\cdots,n_i-1</math>, где <math>n_1+n_2+ \cdots +n_m=n+1</math>.
 
Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или [[Многочлены Эрмита|многочленом Эрмита]]. В общем виде:
: <math>P_n(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{k=0}^{n_i-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}</math>, <math>\ m</math> - — количество узлов и <math>\ n_i</math> - — кратность узла <math>\ x_i</math>.
 
[[Шарль Эрмит]] показал, что
: <math>l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}{(x-x_i)^{n_i}}\right]\sum_{s=0}^{n_i-k-1}c_s^i(x-x_i)^{k+s}</math>, где <math>\ c_s^i</math>  — коэффициенты [[ряд Тейлора|ряда Тейлора]] для функции <math>\frac{(x-x_i)^{n_i}}{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}=\sum_{s=0}^{\infty}c_s^i(x-x_i)^s</math>.
 
== Доказательство ==
{{section-stub}}
 
== Частные случаи ==
 
* Если все <math>\ n_i</math> равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с [[интерполяционный многочлен Лагранжа|интерполяционным многочленом Лагранжа]].
* Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с [[формула Тейлора|многочленом Тейлора]].
* Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной - — имеем задачу о построении [[кубические сплайны|кубического сплайна]].
 
== Оценка остатка интерполяции ==