Интерполирование с кратными узлами: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Evatutin (обсуждение | вклад) м викификация, оформление |
||
Строка 1:
'''Интерполирование с кратными узлами'''
Показывается, что существует единственный многочлен <math>\ P_n(x)</math> степени <math>\ n</math>, удовлетворяющий условиям:
: <math>f^{(k)}(x_i)=f_{i,k}, i=1,\cdots,m; k=0,\cdots,n_i-1</math>, где <math>n_1+n_2+ \cdots +n_m=n+1</math>.
Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или [[Многочлены Эрмита|многочленом Эрмита]]. В общем виде:
: <math>P_n(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{k=0}^{n_i-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}</math>, <math>\ m</math>
[[Шарль Эрмит]] показал, что
: <math>l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}{(x-x_i)^{n_i}}\right]\sum_{s=0}^{n_i-k-1}c_s^i(x-x_i)^{k+s}</math>, где <math>\ c_s^i</math>
== Доказательство ==
{{section-stub}}
== Частные случаи ==
* Если все <math>\ n_i</math> равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с [[интерполяционный многочлен Лагранжа|интерполяционным многочленом Лагранжа]].
* Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с [[формула Тейлора|многочленом Тейлора]].
* Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной
== Оценка остатка интерполяции ==
|