Комплексный анализ: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) уточнение по БРЭ |
Нет описания правки |
||
Строка 47:
=== Геометрический смысл производной ===
[[Файл:Conformal map.svg|thumb|150px|<center>Пример конформного отображения. Видно, что углы сохраняются.</center>]]
Каждая комплексная функция <math>w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)</math> определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами <math>(x,\;y)</math> на другую комплексную плоскость с координатами <math>(u,\;v)</math>. При этом выражение:
: <math>\left|\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\right|</math>
при малом <math>h</math> геометрически можно истолковать как ''коэффициент масштабирования (растяжения/сжатия)'', которое выполняет данное отображение при переходе от точки <math>z</math> к точке <math>z+h</math>. Тогда существование предела этого выражения, то есть модуля производной, означает, что коэффициент
Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку <math>z</math>. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются [[Конформное отображение|конформными]]; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в [[картография|картографии]] и [[гидродинамика|гидродинамике]]<ref>{{книга |автор=Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.|заглавие=Проблемы гидродинамики и их математические модели|ссылка=http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/cf62db0aace63e65e57994fb2c1a96cb.djvu|место={{М.}}|издательство=Наука|год=1973}}</ref>.
| |||