Ориентация: различия между версиями

4 байта добавлено ,  11 лет назад
орфография, пунктуация с помощью AWB
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
м (→‎См. также: подстановка дат в шаблонах с помощью AWB)
(орфография, пунктуация с помощью AWB)
{{Другие значения}}
'''Ориентация''', в классическом случае — выбор одного класса [[система координат|систем координат]], связанных между собой «положительно» в некотором определенномопределённом смысле.
Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.
 
Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств ([[многообразие|многообразий]], [[векторное расслоение|векторных расслоений]], [[комплекс Пуанкаре|комплексов Пуанкаре]] и т. д.).
Современный взгляд на ориентацию даетсядаётся в рамках обобщенныхобобщённых теорий [[Когомология|когомологий]].
 
== Конечномерное векторное пространство ==
=== Замечания ===
 
Для общего поля определение ориентации прeдтавляетпрeдставляет трудности.
Например, в комплексном пространстве <math>\mathbb C^n</math> комплексный репер <math>e_1,e_2,...,e_n</math> определяет вещественный репер <math>e_1,e_2,...,e_n, ie_1,ie_2,...,ie_n</math> в том же пространстве, рассматриваемом как <math>\R^{2n}</math>, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаетзадаёт ориентацию в <math>\R^{2n}</math>).
ориентацию в <math>\R^{2n}</math>).
 
== Вариации и обобщения ==
Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке.
В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием [[Репер (дифференциальная геометрия)|репера]] в касательной плоскости в точке.
Если <math>M</math> имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края беретсяберётся репер, ориентирующий <math>M</math>, первый вектор которого направлен из <math>M</math>, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
 
==== Дезориентирующий контур ====
Этот же гомоморфизм определяет над <math>M</math> одномерное [[расслоение]], тривиальное, если и только если <math>M</math> ориентируемо.
Для дифференцируемого <math>M</math> оно может быть определено как расслоение <math>\Omega^n(M)</math> дифференциальных форм порядка <math>n=\operatorname{dim} M</math>.
Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаетзадаёт [[форма объёма|форму объёма]] на <math>M</math> и одновременно ориентацию.
 
==== На языке гомологий ====
Ориентация может быть определена на [[гомологии|гомологическом языке]]: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий <math>H^n(M,\Z)</math> (с замкнутыми носителями)
изоморфна <math>\Z</math>, и выбор одной из двух образующих задаетзадаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений.
Для связного многообразия с краем то же верно и для <math>H^n(M,\partial M,\Z)</math>.
В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары <math>(M,\partial M)</math>.
Так, [[лист Мёбиуса]] и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.
втором — пары <math>(M,\partial M)</math>.
Так, [[лист Мёбиуса]] и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но
разный — относительно края.
 
Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе <math>H^n(M,M\backslash x_0,\Z)</math>, изоморфной <math>\Z</math>
Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.
обобщённые гомологические многообразия.
 
=== Псевдомногообразия ===
 
Пусть над пространством <math>B</math> задано расслоение <math>p:E\to B</math> со стандартным слоем <math>F</math>.
Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определенноеопределённое путем в <math>B</math> однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения.
Например, [[лист Мёбиуса]], рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.
 
=== Бесконечномерные пространства ===
 
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного [[банахово пространство|банахова]] или [[топологическое векторное пространство|топологического векторного пространства]].
случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного [[банахово пространство|банахова]] или
[[топологическое векторное пространство|топологического векторного пространства]].
При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы.
Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации.
В качестве такой подгруппы обычно выбирается [[фредгольмов оператор|фредгольмова группа]], состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть [[вполне непрерывный оператор]].
разность с тождественным изоморфизмом есть [[вполне непрерывный оператор]].
 
== См. также ==