Википедия

Множество Витали: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
категория
прояснил изложение
Строка 5:
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.
 
Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа виз интервалеинтервала <math>[-1,1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0,1],</math> но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1,2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.
 
Предположим, что <math>E</math> [[Мера Лебега|измеримо по Лебегу]], тогда возможны 2 варианта.
Предположим, что <math>E</math> измеримо — тогда, в силу счётной аддитивности меры Лебега, получаем, что <math>m\, E>0</math> и <math>m\, E=0</math> — противоречие. Таким образом, это множество не измеримо по Лебегу.
* Мера {{math|E}} равна нулю. Тогда мера интервала <math>[0,1]</math>, как счётного объединения множеств меры нуль, тоже буде равна нулю.
* Мера {{math|E}} больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера интервала <math>[0,1]</math>, в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.
В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.
 
== Литература ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали