Уравнение Пуассона: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 51:
Потенциал, источником которого служит точечный заряд,
:<math>\
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r } </math>
- то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при q = 1) [[функция Грина]]
:<math>\Phi_1 =
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r } </math>
для уравнения Пуассона,
то есть решение уравнения
:<math>\Delta \Phi = -
(где <math>\delta(x)</math> - обозначение [[дельта-функции|дельта-функции Дирака]], а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция).
В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как
:<math>\Phi (x,y,z)
= \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta = </math>
:<math>= \int
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }
{ \rho(\xi,\eta,\zeta)
\over
\sqrt{(x-\xi)^2,(y-\eta)^2,(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.
</math>
*Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье [[Функция Грина#Функция Грина для лапласиана|Функция Грина]].
== Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда ==
| |||