Произведение Кронекера: различия между версиями

Если ''A'' — матрица размера ''m''×''n'', ''B'' — матрица размера ''p''×''q'', тогда произведением Кронекера есть блочная матрица размера ''mp''×''nq''
: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.</math>
 
В более общем случае имеем
 
<math>\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}
\end{bmatrix}. </math>
 
Если '''A''' и '''B''' представляют собой линейные преобразования '''V'''<sub>1</sub> → '''W'''<sub>1</sub> и '''V'''<sub>2</sub> → '''W'''<sub>2</sub>, соответственно, то '''A''' ⊗ '''B''' представляет собой [[тензорное произведение]] двух отображений, '''V'''<sub>1</sub> ⊗ '''V'''<sub>2</sub> → '''W'''<sub>1</sub> ⊗ '''W'''<sub>2</sub>.
 
=== Пример ===