Нестандартный анализ: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Скажем, стандартными являются не только конкретные натуральные числа 5, 7, 10 в степени 10 в степени 10, трансцендентные числа вроде π и е, но и полные совокупности всех натуральных чисел <math>\N</math> или всех вещественных чисел <math>\R</math>.
Поскольку <math>\N</math> — бесконечное множество, то в <math>\N</math> имеется нестандартный элемент ''N''. Очевидно, что ''N'' больше 1, ибо 1 — стандартное число.
Если число m стандартно, то стандартно и следующее за ним число <math>m+1</math>, ибо оно получается единственным образом из двух стандартных чисел.
Таким образом, каждое нестандартное натуральное число больше любого стандартного натурального числа. Поэтому нестандартные натуральные числа называются бесконечно большими. Число ''r'' бесконечно большое, если <math>|r|</math> больше какого нибудь бесконечно большого натурального числа.
Ненулевые бесконечно малые числа — это обратные величины бесконечно больших чисел.
Основоположники инфинитезимального анализа говорили не о стандартных или нестандартных числах, а выделяли «могущие быть заданными числа». Например, [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] считал положительное число бесконечно большим, если оно больше любого могущего быть заданным числа.
 
Число, которое не является бесконечно большим, называют конечным. Два числа называют бесконечно близкими, если разность между ними бесконечно мала. Можно доказать, что каждое конечное число бесконечно близко к единственному стандартному числу — к своей [[Стандартная часть числа|стандартной части]].
Числа, бесконечно близкие к данному конечному числу, составляют его ''монаду''. Монады не являются обычными множествами (их именуют внешними множествами по отношению к миру Цермело-Френкеля). Монады разных стандартных чисел попарно не пересекаются, но в объединении охватывают все конечные числа. Таким образом, формальная техника нестандартного анализа хорошо отражает натурфилософские представления о двойственной «дискретно-непрерывной» структуре «физической» числовой прямой.