Лемма Морса: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Строка 23:
 
== Вариации и обобщения ==
*'''===Теорема Тужрона'''. ===
 
В окрестности критической точки <math>0</math> конечной [[кратность (критической точки)|кратности]] <math>\mu</math> существует система координат, в которой гладкая функция <math>f(x)</math> имеет вид многочлена <math>P_{\mu+1}(x)</math> степени <math>\mu+1</math> (в качестве <math>P_{\mu+1}(x)</math> можно взять многочлен Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>0</math> в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность <math>\mu=1</math>, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.
 
*'''===Лемма Морса с параметрами''' или '''лемма о расщеплении особенности'''.===
 
Пусть <math>f(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m): \R^{n+m} \to \R</math>  — гладкая функция, имеющая начало координат <math>0</math> своей критической точкой, невырожденной по переменным <math>x_1,\ldots,x_n</math>. Тогда в окрестности точки <math>0</math> существуют гладкие координаты, в которых
: <math>f(x,y) = \alpha_1 x_1^2 + \cdots + \alpha_n x_n^2 \, + \, f_0(y_1,\ldots,y_m), \quad \alpha_i = \pm 1,</math>
где <math>\,f_0</math>  — некоторая гладкая функция.
Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от <math>n+m</math> переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).