Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Обобщения: оформление |
→Обобщения: оформление |
||
Строка 16:
Для <math>n\ge 3</math> теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.
В 1909 г. [[Туэ, Аксель|Туэ]] установил, что для алгебраических чисел <math>~\alpha</math> степени <math>~n</math> и
<math>~\nu>\frac n2+1</math> справедливо неравенство
:<math>\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^\nu}</math>. (*)
Строка 24:
в частности при <math>\nu>2\sqrt n</math>.
Позже Ф. Дайсон (F. I. Dyson) доказал справедливость этого неравенства при <math>\nu>\sqrt {2n}</math>.
Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом <math>~\nu>2</math>.
Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число <math>~\xi</math>, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений <math>~p/q</math>, удовлетворяющих неравенству
:<math>\left|\xi-\frac pq\right|<\frac 1 {q^2}</math>.
Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная <math>C=C(\alpha,\;\nu)</math> в неравенстве зависит от величин <math>~\alpha</math> и <math>~\nu</math>.
==Ссылки==
| |||