Простой элемент: различия между версиями

'''Простой элемент''' ― обобщение понятия [[простое число|простого числа]].

== Определение ==

Пусть <math>G</math> ― [[область целостности]] или коммутативная [[полугруппа]] с единицей, удовлетворяющая закону сокращения.

Ненулевой элемент <math>p\in G</math>, не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение <math>ab</math> может делиться на <math>p</math> лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов <math>a</math> или <math>b</math> делится на <math>p</math>.

* Всякий простийпростой элемент является [[неприводимый элемент|неприводимым]], т.то е.есть делится только на делители единицы и ассоциированные с ним элементы.

* Неприводимый элемент не обязан быть простым, однако в [[гауссова полугруппа|гауссовой полугруппе]] эти два понятия совпадают.

** Более того, если всякий неприводимый элемент из <math>G</math> является простым, то полугруппа <math>G</math> гауссова.

Аналогичные утверждения имеют место для фактариальныхфакториальных колец.

* Элемент кольца является простым тогда и только тогда, когда главный идеал, порожденныйпорождённый этим элементом, ― [[простой идеал]].

== Литература ==

* Кон П., ''Свободные кольца и их связи'', пер. с англ., М., 1975;

* Курош А. Г., ''Лекции по общей алгебре'', 2 изд., М., 1973;