Евклидово кольцо: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 9:
Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком уже не годится — его тоже надо поправлять. Пусть <math>x\in R</math> таков, что <math>d'(b) = d(bx)</math>. Разделим с остатком ''ax'' на ''bx'': <math>ax = bxq' + r'x</math>, где <math>r' = a - bq'</math> и <math>d(r'x)<d(bx)=d'(b)</math>. Так как из определения <math>d'(r')\le d(r'x)</math>, мы получили представление <math>a = bq' + r'</math> с <math>d'(r')<d'(b)</math>, что и требовалось.
Тем не менее, преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента ''a'' имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных [[Идеал (алгебра)|идеалов]], доказательство чего требует применения [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]]). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.
== Примеры ==
| |||