Кратность критической точки: различия между версиями

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{\nabla f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' градиентного отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра|факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}</math> называется '''кратностью''' функции <math>f</math> в точке <math>O.</math>

В случае, когда функции <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n</math> имеют в точке <math>O</math> линейно независимые [[градиент|градиенты]]ы (это условие равносильно тому, что [[гессиан|гессиан]] функции <math>f</math> отличен от нуля), кратность <math>\mu=1</math>, и критическая точка <math>O</math> называется '''невырожденной'''.

Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]]ом для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref>

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>\,I_{f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра|факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}</math> называется '''кратностью''' отображения <math>f</math> в точке <math>O.</math>