Число Бетти: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
INSAR (обсуждение | вклад) м разрешение неоднозначностей с помощью AWB (7794) |
|||
Строка 14:
где <math>H_k(X)</math> — ''k''-я [[группа]] [[Гомология (топология)|гомологий]] пространства ''X'', которая является [[Абелева группа|абелевой]], ''rank'' обозначает [[Абелева группа#Связанные определения|ранг]] этой группы.
Эквивалентно, можно определить его как [[размерность векторного пространства]] ''H''<sub>''k''</sub>(''X'';
* <math>\beta_k(X)=</math> dim ''H''<sub>''k''</sub>(''X'';
Эквивалентность этих определений в простых случаях показывает [[теорема об универсальных коэффициентах]].
В более общих случаях для данного [[Поле (алгебра)|поля]] ''F'' можно определить <math>\beta_k(X,F)</math>, ''k''-е число Бетти с коэффициентами в ''F'', как размерность векторного пространства ''H''<sub>''k''</sub>(''X'',
== Связанные определения ==
Строка 34:
== Свойства ==
* Для конечного [[Симплициальный комплекс|симплициального комплекса]] ''K'' группы гомологий ''H''<sub>''k''</sub>(''K'') являются [[Конечнопорождённая абелева группа|конечно-порожденными]] и, следовательно, имеют конечный ранг. Если ''k'' превышает максимальную размерность симплексов
** [[Эйлерова характеристика]] ''K'' может быть выражена следующим образом
**: <math>\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\beta_i(K)</math>
** Функция Пуанкаре является [[многочлен]]ом.
*Согласно [[Теорема Кюннета|теореме Кюннета]] для любых двух пространств ''X'' и ''Y'', верно следующее соотношение для функций Пуанкаре
:: <math>P_{X\times Y}=P_X P_Y , \, </math>
* Если ''X'' — [[многообразие#Топологические многообразия|замкнутое]] и [[Ориентация|ориентируемое]] ''n''-мерное [[многообразие]], то, согласно [[двойственность Пуанкаре|двойственности Пуанкаре]], для любого
*: <math>\beta_k(X)=\beta_{n-k}(X).</math>
== Примеры ==
# Последовательность чисел Бетти для окружности <math>S^1</math>: 1, 1, 0, 0, 0, …;
#: многочлен Пуанкаре:
# Последовательность чисел Бетти для двумерного [[
#: многочлен Пуанкаре: <math>1+2x+x^2=(1+x)^2</math>.
# Последовательность чисел Бетти для трехмерного [[Тор (поверхность)|тор]]а <math>T^3</math>: 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … .
#: многочлен Пуанкаре: <math>1+3x+3x^2+x^3=(1+x)^3</math>.
#Аналогично, для ''n''-мерного [[Тор (поверхность)|тор]]а, многочленом Пуанкаре: <math>(1+x)^n</math>, то есть числа Бетти являются [[Биномиальный коэффициент|биномиальными коэффициентами]].
#Бесконечномерные пространства могут иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. К примеру, бесконечномерное комплексное [[проективное пространство]] имеет последовательность чисел Бетти 1, 0, 1, 0, 1, … периодичную с [[период]]ом 2. В этом случае функция Пуанкаре не является многочленом, представляя собой бесконечный ряд, который является рациональной функцией:
#: <math>\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6+\dotsb.</math>
| |||