Нестандартный анализ: различия между версиями

доп. ссылка на "дуальные числа"
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Нет описания правки
(доп. ссылка на "дуальные числа")
современной математики. При этом новые теории обладают несравненно более широкими возможностями.
 
=== Стандартные и нестандартные элементы ===
 
Содержательным исходным пунктом аксиоматики нестандартного анализа является представление о том, что в каждом математическом объекте могут быть элементы только двух типов.
Элементы первого типа доступны нам или прямым или потенциально бесконечным способом в том смысле, что мы можем или указать такие элементы непосредственно или доказать их существование и единственность, используя уже имеющиеся в нашем распоряжении доступные объекты. Объекты этого типа называют стандартными, а прочие — нестандартными.
 
Нестандартный анализ постулирует, что в каждом бесконечном множестве объектов имеется хотя бы один нестандартный элемент — "принцип идеализации". При этом стандартных объектов достаточно для изучения классических математических свойств любых объектов — "принцип переноса".
Имеется также возможность задавать стандартные объекты, отбирая стандартные элементы с заданным свойством — "принцип стандартизации". Варианты этих принципов присутствуют во всех аксиоматиках нестандартного анализа.
 
Стандартный объект сам по себе часто бесконечен.
Числа, бесконечно близкие к данному конечному числу, составляют его ''монаду''. Монады не являются обычными множествами (их именуют внешними множествами по отношению к миру Цермело-Френкеля). Монады разных стандартных чисел попарно не пересекаются, но в объединении охватывают все конечные числа. Таким образом, формальная техника нестандартного анализа хорошо отражает натурфилософские представления о двойственной «дискретно-непрерывной» структуре «физической» числовой прямой.
 
===Одно представление нестандартных чисел===
Важно понимать, что нестандартныйНестандартный анализ использует новое первичное понятие — свойство объекта быть или не быть стандартным. В «стандартной» математике обычно эти различия невыразимы, и поэтому в ней: нельзя говорить об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых постоянных величинах. При этом формальная теория нестандартного анализа представляет собой консервативное расширение классической. То есть любое суждение классической математики, доказанное с помощью нестандартного анализа, может быть установлено и без использования новых методов.
 
По сути же, формальная теория нестандартного анализа есть консервативное расширение классической, т.е. любое суждение классической математики, доказанное с помощью нестандартного анализа, может быть доказано и без использования новых методов.
Тем не менее, есть одно технически полезное "классическое" представление нестандартных чисел, которое дают т.н. ''[[дуальные числа]]'', т.е. числа вида '''<math>a+\varepsilon * b</math>''', где <math>\varepsilon^2=0</math>).
 
== Приложения ==