Теория категорий: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м →Определение: викификация |
Mousy (обсуждение | вклад) |
||
Строка 75:
=== Произведение и сумма объектов ===
[[Файл:Diag product.gif|right|Прямое произведение]]
[[Произведение (теория категорий)|'''Произведение''']] (пары) объектов ''A'' и ''B'' — это объект <math>A\times B</math> с морфизмами <math>p_1: A\times B\to A</math> и <math>p_2: A\times B \to B</math> такими, что для любого объекта <math>C</math> с морфизмами <math>f_1: C\to A</math> и <math>f_2: C\to B</math> существует единственный морфизм <math>g: C \to A\times B</math> такой, что диаграмма справа коммутативна. Морфизмы <math>p_1: A\times B\to A</math> и <math>p_2: A\times B \to B</math> называются ''проекциями''.
[[Двойственная категория|Дуально]] определяется ''прямая сумма'' или ''[[копроизведение]]'' <math>A+B</math> объектов <math>A</math> и <math>B</math>. Соответствующие морфизмы <math>\imath_A: A\to A+B</math> и <math>\imath_B: B \to A+B</math> называются ''вложениями''. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть ''мономорфизмами''.
Строка 83:
: ''Пример:'' В категории '''''Set''''' прямое произведение ''A'' и ''B'' — это произведение в смысле теории множеств <math>A\times B</math>, а прямая сумма — [[дизъюнктное объединение]] <math>A \sqcup B</math>.
: ''Пример:'' В категории '''''Ring''''' прямая сумма — это [[тензорное произведение]] <math>A\otimes B</math>, а прямое произведение — сумма колец <math>A\oplus B</math>.
: ''Пример:'' В категории '''''Vect'''''<sub>K</sub> (конечные) прямое произведение и прямая сумма [[Изоморфизм|изоморфны]] — это сумма векторных пространств <math>A\oplus B</math>.
Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов <math>\prod_{i\in I} A_i</math>. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в '''''Vect'''''<sub>K</sub> изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения '''не''' являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения <math>\prod_{i\in I} V_i</math> являются произвольные бесконечные последовательности элементов <math>v_i \in V_i</math>, в то время как элементами бесконечного копроизведения <math>\coprod_{i\in I} V_i</math> являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.
== Функторы ==
| |||