Окрестность: различия между версиями

'''Окре́стность точки'''  — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Окрестностью точки <math>x_0</math> на числовой прямой (иногда говорят <math>\varepsilon</math>-окрестностью) называется множество точек, удаленных от <math>x_0</math> не более чем на <math>\varepsilon</math>, т.е.то есть

В [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]] <math>(M,\rho)</math> окрестностью с центром в точке <math>y</math> называют

* Пусть задано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math>  — произвольное [[множество]], а <math>\mathcal{T}</math>  — определённая на <math>X</math> [[топология]]. Множество <math>V \subset X</math> называется окрестностью точки <math>x\in X</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U\in \mathcal{T}</math> такое, что <math>x \in U \subset V</math>.

* Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность <math>V</math> была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество <math>U</math>. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. <ref>''У.Рудин'' Функциональный анализ.  — М.: Мир, 1975.  — С. 13. </ref> Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.

Пусть дана [[вещественная прямая]] со [[Стандартная топология вещественной прямой|стандартной топологией]].

Тогда <math>(-1,2)</math> является открытой окрестностью,

а <math>[-1,2]</math>  — замкнутой окрестностью точки <math>0</math>.

где <math>V</math>  — окрестность <math>x</math>.

== Примечания ==