Википедия

Теорема Грина: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м В пределах у интеграла стояло y1(x,y) и y2(x,y). Должно быть y1(x) и y2(x)
разрешение неоднозначностей
Строка 1:
__FORCETOC__{{чистить}}
 
'''Теорема Грина''' устанавливает связь между [[Криволинейный интеграл|криволинейным интегралом]] по замкнутому контуру <math>C</math> и [[Двойной интеграл|двойным интегралом]] по области <math>D</math>, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей [[Теорема Стокса|теоремы Стокса]]. Теорема названа в честь английского математика [[Грин, Джордж|Джорджа Грина]].
 
== Формулировка ==
 
Пусть <math>C</math>  — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а <math>D</math>  — область, ограниченная кривой <math>C</math>. Если [[Функция (математика)|функции]] <math>P = P(x,y)</math>, <math>Q = Q(x,y)</math> определены в области <math>D</math> и имеют непрерывные [[Частная производная|частные производные]] <math>\frac{\partial P}{\partial y}</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial x}</math>, то
 
: <math>\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy</math>
 
На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая <math>C</math> замкнута.
 
=== Доказательство ===
[[Файл:Green's-theorem-simple-region-inverse-direction.svg|thumb|300px|right|<math>D</math>  — область, правильная в направлении <math>OY</math>, ограниченная замкнутой кривой <math>C</math>]]
Пусть область <math>D</math>  — криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении <math>OY</math>):
 
: <math>D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}</math>
Строка 26:
: <math>\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (2)</math>
: <math>\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)</math>
Интеграл по <math>C_1</math> берётся со знаком "«минус"», так как согласно ориентации контура <math>C</math> направление обхода данной части  — от <math>b</math> до <math>a</math>.
 
Криволинейные интегралы по <math>C_2</math> и <math>C_4</math> будут равны нулю, так как <math>x = \operatorname{const}</math>:
Строка 43:
 
Складывая (6) и (7), получим:
: <math>\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy</math>
 
== Формулы Грина ==
 
Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для [[скаляр]]ного [[Скалярный потенциал|потенциала]]
с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких
граничных поверхностей, то общее решение для [[скаляр]]ного [[потенциал]]а
 
<math>\Phi(x)=\int \frac{\varrho(x^')}{|x-x^'|}\, d^3x</math>
 
было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни [[уравнение Лапласа]], ни [[уравнение Пуассона]]. Однако
в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач [[электростатика|электростатики]] мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими [[Электрический заряд|заряд]]), на граничных поверхностях которых заданы определённые граничные («краевые») условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведённое выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчёта потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).
нужны были бы ни [[уравнение Лапласа]], ни [[уравнение Пуассона]]. Однако
в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач
[[электростатика|электростатики]] мы имеем дело с конечными областями
пространства (содержащими или не содержащими [[заряд]]), на граничных
поверхностях которых заданы определенные граничные («краевые»)
условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым
соответственно подобранным распределением зарядов вне
рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведенное выше соотношение
в этом случае уже непригодно для расчета потенциала,
за исключением некоторых частных случаев (например, в методе
изображений).
 
Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.).
расширить используемый нами математический аппарат, а именно
вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.).
Они получаются непосредственно из [[Формула Остроградского|теоремы]] о [[дивергенция|дивергенции]]
 
<math>\int\limits_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da </math>,
 
которая справедлива для любого векторного поля А, определенногоопределённого в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть <math>A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi</math>, где <math>\varphi</math> и <math>\psi \,\!</math> — произвольные дважды непрерывнодифференцируемые скалярные функции.
в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть
<math>A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi</math>, где <math>\varphi</math> и <math>\psi
\,\!</math> — произвольные дважды непрерывнодифференцируемые скалярные функции.
Тогда
 
Строка 86 ⟶ 69 :
 
где <math>\frac{\partial}{\partial n} </math>— [[нормальная производная]] на поверхности S (по
направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к ''первой формуле Грина''
(1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к ''первой формуле Грина''
 
<math>\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \,da (3)</math>.
Строка 93 ⟶ 75 :
Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами <math>\varphi</math> и <math>\psi\,\!</math>,
и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением <math>\operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi</math>
сократятся и мы получим ''вторую формулу Грина'', называемую иначе ''теоремой Грина'':
иначе ''теоремой Грина'':
 
<math>\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S [\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}] \,da </math>.
 
В [[физика|физике]] и [[математика|математике]] теорема Грина дает соотношение между [[линейныйкриволинейный интеграл|линейнымкриволинейным интегралом]] простой ограниченной кривой С и [[двойной интеграл|двойным интегралом]] по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом
 
<math>\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.</math>
Строка 117 ⟶ 98 :
 
== Литература ==
* ''Д. Ж. Джексон'' Классическая электродинамика (1965г1965 г.)
 
 
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Грина