Теорема о промежуточном значении: различия между версиями

промежуток - и отрезок и интервал, стилистически лучше
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
(→‎Обобщение: описание словами и описание словами и формулами имеют одинаковую точность)
(промежуток - и отрезок и интервал, стилистически лучше)
content =
 
Рассмотрим функцию <math>\,g(x)=f(x)-C.</math> Она непрерывна на отрезке <math>\,[a,b]</math> и <math>\,g(a)<0</math>, <math>\,g(b)>0.</math> Покажем, что существует такая точка <math>\,c\in [a,b]</math>, что <math>\,g(c)=0.</math> Разделим отрезок <math>\,[a,b]</math> точкой <math>\,x_0</math> на два равных по длине отрезка, тогда либо <math>\,g(x_0)=0</math> и нужная точка <math>\,c=x_0</math> найдена, либо <math>g(x_0)\neq 0</math> и тогда на концах одного из полученных отрезковпромежутков функция <math>\,g(x)</math> принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).
 
Обозначив полученный отрезок <math>\,[a_1,b_1]</math>, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке <math>\,c</math>, либо получим последовательность [[Отрезок#Стягивающаяся система сегментов|вложенных отрезков]] <math>\,[a_n,b_n]</math> по длине стремящихся к нулю и таких, что
== Следствия ==
 
Словами* (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна [[0 (число)|нулю]]. Формально: пусть <brmath>f\in C\bigl([a,b]\bigr),</math> и <math>sign(f(a))\ne sign(f(b)).</math> Тогда <math>\exists c \in (a,b)</math> такое, что <math>f(c) = 0.</math>
* (Теорема о нуле непрерывной функции.)<br>
* В частности любой [[многочлен]] [[Нечётное число|нечётной]] степени имеет по меньшей мере один нуль;.
Словами. Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна [[0 (число)|нулю]].<br>
Словами и формулами. Пусть <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr),</math> и <math>sign(f(a))\ne sign(f(b)).</math> Тогда <math>\exists c \in (a,b)</math> такое, что <math>f(c) = 0.</math>
* В частности любой [[многочлен]] [[Нечётное число|нечётной]] степени имеет по меньшей мере один нуль;
 
== Замечание ==
 
== Обобщение ==
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие [[топологическое пространство|топологические пространства]]. Всякая непрерывная функция <math>f\colon X\to\R</math>, определенная на [[Связное пространство|связном]] топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. ПустьФормальная запись: пусть дано связное топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T}),</math> и функция <math>f\in C(X).</math> Пусть <math>x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2,</math> и <math>y_1 < y_2.</math> Тогда
: <math>\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.</math>
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.