Квадрат (алгебра): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
картина никак не относится к теме статьи и мешает восприятию |
Нет описания правки Метка: добавление ссылки |
||
Строка 5:
Далее приведено начало [[Числовая последовательность|числовой последовательности]] для квадратов целых неотрицательных чисел ({{OEIS|A000290}}):
:0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849...
==Способы представления==
Квадрат натурального числа <math>n</math> можно
:1: <math>1 = 1</math><br />
:2: <math>4 = 1 + 3</math><br />
Строка 22:
:...
[[Сумма]] квадратов первых <math>n</math> натуральных чисел вычисляется по формуле:<br />
<math>\sum_{
{{Вывод|
<big>'''Способ 1, метод приведения:'''</big><br />
:Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до <math>n+1</math>:<br />
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n 3k^2 + \sum_{k=0}^n 3k + \sum_{k=0}^n 1 = \sum_{k=0}^n k^3 +3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 </math><br />
:Получим:<br />
:<math>(n+1)^3 = 3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = 3\sum_{k=0}^n k^2 + 3\frac{(n+1)n} {2} + (n + 1)</math><br />
:Умножим на 2 и перегруппируем:<br />
:<math>6\sum_{k=0}^n k^2 = 2(n + 1)^3 - 3(n + 1)n - 2(n + 1) = (n + 1)(2(n + 1)^2 - 3n - 2) = (n + 1)(2n^2 + n) = n(n + 1)(2n + 1)</math><br />
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math> (В рассуждениях использована формула: <math>\sum_{k=0}^n k = \frac{(n + 1)n} {2}</math>, вывод которой аналогичен приведенному)<br />
<big>'''Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:'''</big><br />
:Заметим, что сумма функций степени <math>N</math> может быть выражена как функция <math>N+1</math> степени. Исходя из этого факта предположим:<br />
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D</math><br />
:<math>f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; f(2) = 5 ; f(3) = 14</math><br />
:Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:<br />
:<math>
\begin{cases}
0A + 0B + 0C + D = 0 \\
A + B + C + D= 1 \\
8A + 4B + 2C + D = 5\\
27A + 9B + 3C + D = 14 \\
\end{cases}
</math>
:Решив её, получим <math>A = \frac{1} {3}, B = \frac{1} {2}, C = \frac{1} {6}, D = 0</math><br />
:Таким образом:<br />
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = \frac{1} {3}n^3 + \frac{1} {2}n^2 + \frac{1} {6}n + 0 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math><br />
Примечание: более подробную информацию можно прочитать в [http://www.alleng.ru/d/math/math163.htm этой] книге в параграфе 2.5.
}}
== Квадрат комплексного числа ==
Строка 36 ⟶ 63 :
Квадрат числа равен площади [[квадрат]]а со стороной, равной этому числу.
==Литература==
[http://www.alleng.ru/d/math/math163.htm Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.]
== См. также ==
* Извлечение [[Квадратный корень|квадратного корня]] — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
| |||