Элементарный топос: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Mousy (обсуждение | вклад) м ← Правки Fractaler (обсуждение) откачены к версии Mousy |
Mousy (обсуждение | вклад) дополнение |
||
Строка 16:
== Примеры ==
* Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является ''топос множеств''. В нём экспоненциал множеств <math>A</math> и <math>B</math> — это множество <math>A^B</math> [[Отображение|отображений]] из <math>B</math> в <math>A</math>. Классификатор подобъектов — это множество <math>\Omega = \{0;1\}</math>, при этом <math>m</math> — естественное вложение <math>A</math> в <math>B</math>, а <math>\chi_m</math> — [[Характеристическая функция множества|характеристическая функция]] подмножества <math>A</math> множества <math>B</math>, равная 1 на элементах <math>A</math> и 0 на элементах <math>A \backslash B</math>. Подобъекты <math>A</math> — это его подмножества.
* Категория ''конечных'' множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
* Для любой категории <math>C</math> категория функторов <math>\left[ C, \mathbf{Set} \right]</math> является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов <math>F,G</math> функтор морфизмов <math>[F,G]</math> даётся формулой
: <math>[F,G](c)=\mathrm{Hom}(F(c),G(c))</math>
: Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов <math>\Omega</math> на объекте <math>c\in C</math> равен множеству подфункторов представимого функтора <math>\mathrm{Hom}(c,\cdot)</math>.
* Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству <math>X</math> его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, <math>Ouv(X)</math>, то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе <math>[Ouv(X),\mathbf{Set}]</math>. Единственное отличие: <math>\Omega(c)</math> есть множество всех ''подпучков'' представимого пучка <math>\mathrm{Hom}_{Ouv(X)}(c,\cdot)</math>.
* Более общо, для любой категории <math>C</math> с заданной [[Топология Гротендика|топологией Гротендика]] <math>\tau</math> категория <math>\tau</math>-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
* Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ''ни одной'' точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать [[Локаль|локали]], при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.
== Литература ==
* ''Р. Голдблатт'' Топосы. Категорный анализ логики, — {{М}}: Мир, 1983. — 487 с.
* {{книга|автор=П.Т. Джонстон|заглавие=Теория топосов|ответственный=Под ред. Ю.И. Манина|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство){{!}}Наука]]|год=1986|страниц=440}}
* {{книга|автор=F. Borceux |заглавие=Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves |место=Cambridge|издательство=Cambridge University Press |год=1994|allpages=522|isbn=0 521 44180 3 }}
* {{книга|автор=P.T. Johnstone|заглавие=Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium |место=Oxford|издательство=Clarendon Press|год=2002|том=1|isbn=0 19 852496 X }}
== См. также ==
| |||