Представление группы: различия между версиями

* Представление называется '''точным''', если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.

* Представление группы <math>G</math> называется '''приводимым''', если в векторном пространстве <math>W</math> есть подпространство, отличное от нулевого и самого <math>W,</math> [[инвариантное подпространство|инвариантное]] для всех преобразований <math>A_g: W \to W\quad </math> <math>(\forall g \in G).</math> В противном случае представление называется '''неприводимым''' или '''простым'''. [[Теорема Машке]] утверждает, что [[конечномерное пространство|конечномерные]] представления [[конечная группа|конечных групп]] над полем [[характеристика поля|характеристики]] ноль (или положительной, но не делящей [[порядок группы|порядок]] группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.

* Представление называется '''регулярным''', если <math>W</math> — пространство функций на группе <math>G</math> и линейное преобразование <math>A_g: W \to W</math> ставит в соответствие каждой функции <math>f(\omega), \ \omega \in G,</math> функцию <math>f(g\omega), \ \omega \in G.</math>

* Представление называется '''унитарным''' относительно некоторого [[Унитарное пространство|эрмитова скалярного произведения]] в пространстве <math>W</math> над полем <math>\mathbb{C}</math>, если все преобразования <math>A_g: W \to W\quad </math> <math>(\forall g \in G)</math> являются [[Унитарная группа|унитарными]]. Представление называется '''унитаризуемым''', если в векторном пространстве <math>W</math> (над полем <math>\mathbb{C}</math>) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы <math>G</math> унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве <math>W</math> произвольное эрмитово скалярное произведение <math>\langle x,y \rangle</math> и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой <math>(x,y) = \sum_{g\in G} \langle A_g(x),A_g(y) \rangle.</math>