Вектор Лапласа — Рунге — Ленца: различия между версиями

В [[классическая механика|классической механике]] '''ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца''' называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается [[закон всемирного тяготения|законом всемирного тяготения Ньютона]], вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой [[интеграл движения]], то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются<ref>{{cite book | last = Арнольд | first = В. И. | authorlink = Арнольд, Владимир Игоревич | year = 2003 | title = Математические методы классической механики, 5-е изд. | publisher = Едиториал УРСС | location = Москва | pages = 416 | id = 5-354-00341-5}}; в сети в электронном виде есть 3-е изд. за 1988 год, см. Добавление 8, на стр. 381</ref>; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца ''сохраняется'' при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством [[центральная сила|центральной силы]], которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется [[Кеплерова задача|Кеплеровой задачей]] <ref name="goldstein_1980">{{cite book | last = Голдштейн | first=Г. | authorlink=Голдштейн, Герберт | year=1975 | title=Классическая механика | edition=<!--2^nd edition -->| publisher=Наука | pages=416}}</ref>.

В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса <math>\mathbf{p}</math> всегда движется по кругу <ref name="hamilton_1847_hodograph">{{cite journal | last = Hamilton | first = WR | authorlink = Гамильтон, Уильям Роуан | year = 1847 | title = The Hodograph, or a new Method of expressing in symbolical Language the Newtonian Law of Attraction | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = 344—353}}</ref><ref>
Хикок_Ф.А. Графики космического полета. Машиностроение(1968). Глава 3. Анализ траекторий с помощью полярных диаграмм. на стр. 42;
Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Том 1. 1990, ЗАДАЧА 4.9. Свойства орбит в пространстве скоростей, стр. 88;
</ref>. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии <math>E</math> проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в [[гиперсфера|четырёхмерной сфере]] <ref name="fock_1935" >{{cite journal | last = Fock | first = V | authorlink = Фок, Владимир Александрович | year = 1935 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 98 | pages = 145—154}}</ref>. По этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам [[угловой момент|углового момента]] в четырёхмерном пространстве <ref name="bargmann_1936" >{{cite journal | last = Bargmann | first = V | authorlink = Баргманн, Валентин | year = 1936 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 99 | pages = 576—582}}</ref>.

Механическая система с <math>d</math> [[степени свободы|степенями свободы]] может обладать максимум <math>2d-1</math> интегралами движения, поскольку <math>2d</math> начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем <math>d</math> интегралами движения называется ''суперинтегрируемой'', а система с <math>2d-1</math> интегралами называется ''максимально суперинтегрируемой'' <ref>{{cite journal | last = Evans | first = NW | year = 1990 | title = Superintegrability in classical mechanics | journal = [[Physical Review A]] | volume = 41 | pages = 5666—5676}}</ref>. Поскольку решение [[уравнения Гамильтона — Якоби]] в одной [[система координат|системе координат]] может привести только к <math>d</math> интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат <ref>{{cite book | last = Sommerfeld | first = A | authorlink = Arnold Sommerfeld | year = 1923 | title = Atomic Structure and Spectral Lines | publisher = Methuen | location = London | pages = 118}}</ref>. Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (<math>d=3</math>) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в [[сферические координаты|сферических координатах]] и [[параболические координаты|параболических координатах]] <ref name="landau_lifshitz_1976">{{cite book | last=Landau |first=LD | authorlink=Lev Landau | coauthors=[[Evgeny Lifshitz|Lifshitz EM]] | year=1976 | title=Mechanics | edition=3^rd edition | publisher=Pergamon Press | pages = p. 154 | id= 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover)}};
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. Том 1. изд.5. 2004. § 15. Кеплерова задача, "сохраняющийся вектор" на стр. 56; заключительный § 52. Условно-периодическое движение, задача с решением в полярных координатах на стр. 217.</ref>, как описано [[#Уравнение Гамильтона-Якоби в параболических координатах|ниже]]. <!--Maximally superintegrable systems follow closed, one-dimensional orbits in [[phase space]], since the orbit is the intersection of the phase-space [[isosurface]]s of their constants of motion.--> Максимально суперинтегрируемые системы могут быть [[каноническое квантование|квантованы]] с использованием только [[коммутационные соотношения|коммутационных соотношений]], как показано [[#Квантовая механика атома водорода|ниже]] <ref>{{cite journal | last = Evans | first = NW | year = 1991 | title = Group theory of the Smorodinsky-Winternitz system | journal = [[Journal of Mathematical Physics]] | volume = 32 | pages = 3369—3375}}</ref>.