Группы симметрии: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Vsvor (обсуждение | вклад) |
KrBot (обсуждение | вклад) м + {{изолированная статья}} |
||
Строка 1:
'''Группа симметрии''' (группа [[Симметрия|симметрий]]) некоторого объекта, многогранника или множества точек из [[Метрическое_пространство|метрического пространства]] ― это [[группа_(математика)|группа]] всех [[Изометрия_(математика) | движений]], для которых данный объект является [[Инвариант_(математика)|инвариантом]], с [[Композиция_функций|композицией]] в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек ''n''-мерного [[Евклидово_пространство|евклидова пространства]] и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.
== Примеры ==
* Группа симметрии [[Отрезок|отрезка]] в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и [[Отражение_(геометрия)|отражение]] относительно середины отрезка. Но в двумерном [[Евклидово_пространство|евклидовом пространстве]] существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
* Группа симметрии [[равносторонний треугольник|равностороннего треугольника]] на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна [[симметрическая группа|симметрической группе]] S<sub>3</sub>. Однако группа симметрии [[квадрат]]а имеет порядок 8, а симметрическая группа S<sub>4</sub> изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
* Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, т.е. состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
* Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
* Произвольное периодическое замощение плоскости (или [[орнамент]]) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым [[Конгруэнтность_(геометрия)|конгруэнтным]] ему элементом.
== Классификация ==
Ниже предполагается, что для каждой точки <math>x \in \mathbb E^n</math> множество образов <math>\{ g(x)|g \in G \}</math>, где <math>G</math> - группа симметрии, топологически замкнуто.
=== Одномерное пространство ===
Каждое движение одномерного пространства является либо [[Параллельный перенос|переносом]] всех точек прямой на некоторое фиксированное расстояние, либо [[отражение_(геометрия)|отражением]] относительно некоторой точки. Множество точек одномерного пространства обладает одной из следующих групп симметрии:
* тривиальная группа ''C''<sub>1</sub>
* группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно точки (изоморфна [[циклическая группа|циклической группе]] ''C''<sub>2</sub>)
* бесконечные группы, состоящие из степеней некоторого переноса (изоморфны бесконечной циклической группе)
* бесконечные группы, для которых образующими являются некоторый перенос и отражение относительно некоторой точки;
* группа всех переносов (изоморфна аддитивной группе действительных чисел)
* группа всех переносов и отражений относительно каждой точки прямой
=== Двумерное пространство ===
В двумерном случае группы симметрии делятся на следующие классы:
* [[Циклическая _группа|циклические группы]] ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>, ... состоящие из поворотов вокруг неподвижной точки на углы, кратные 360°/''n''
* диэдральные группы ''D''<sub>1</sub>, ''D''<sub>2</sub>, ''D''<sub>3</sub>, ...
* [[специальная ортогональная группа]] SO(2)
* [[ортогональная группа]] O(2)
* 7 групп симметрии [[Фриз_(архитектура)|фризов]]
* 17 групп симметрии [[Орнамент|орнаментов]] (или плоских [[кристаллографическая группа|кристаллографических групп]])
* бесконечные группы, которые получаются из одномерных групп симметрии добавлением переносов вдоль направления, перпендикулярного исходной прямой, и симметрий относительно этой прямой.
=== Трехмерное пространство ===
Перечень конечных групп симметрии состоит из 7 бесконечных серий и 7 случаев, рассматриваемых отдельно. В этот перечень входят 32 точечные [[кристаллографическая группа|кристаллографические группы]] и группы симметрии [[правильные многогранники|правильных многогранников]].
[[Континуум_(теория_множеств)|Континуальные]] группы симметрии включают в себя
* группу симметрии прямого кругового [[конус|конуса]]
* группу симметрии кругового [[Цилиндр|цилиндра]]
* группу симметрии [[сфера|сферы]]
== Литература ==▼
▲==Литература==
* {{книга
Строка 59 ⟶ 58 :
}}
== См. также ==▼
* [[Правильные многогранники]]▼
▲==См. также==
* [[Список кристаллографических групп]]▼
{{изолированная статья}}
▲*[[Правильные многогранники]]
▲*[[Список кристаллографических групп]]
[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Симметрия]]
[[Категория:Геометрия]]
[[ar:زمرة التماثل]]
| |||