Теорема Римана об условно сходящихся рядах: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м r2.7.1) (робот добавил: sv:Riemanns serieteorem
м раскрытие шаблона по запросу на ЗКБТ с помощью AWB
Строка 4:
{{Теорема|Пусть ряд <math>\mathbf{A}</math> сходится условно, тогда для любого числа '''S'''<math>\in\mathbf{R}</math> можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна '''S'''.}}
 
 
{{== Доказательство|Теорема Римана}}==
 
Составим ряд из положительных элементов ряда <math>\mathbf{A}</math> и обозначим его <math>\mathbf{P}</math>, а элементы ряда <math>\mathbf{P}</math> обозначим <math>\mathbf{P_i} (i=1,...,\infty)</math>. Соответственно ряд из отрицательных элементов <math>\mathbf{A}</math> обозначим <math>\mathbf{Q}</math> Следовательно ряд <math>\mathbf{A}</math> можно представить как:
<math>\mathbf{A}=\mathbf{P}-\mathbf{Q}</math>.
Исходя из [[Условная сходимость|свойств условно сходящихся рядов]] <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> — расходятся, а исходя из [[Остаток ряда|свойств остатка ряда]] все остатки <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> — расходятся <math>\Rightarrow</math> в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда <math>\mathbf{A}</math>:
Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла '''S''':
<math>\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}></math>'''S'''
За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше '''S''':
<math>\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}-\mathbf{q_1}-\mathbf{q_2}-...-\mathbf{q_m}<</math>'''S'''
Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда <math>\mathbf{A}</math> встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены <math>\mathbf{p}</math> и <math>\mathbf{q}</math>, набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и '''S''' по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:
<math>\lim_{k\to\infty} \mathbf{p_k}=0</math> и <math>\lim_{m\to\infty} \mathbf{q_m}=0</math>, то новый ряд сходится к '''S'''. {{QED}}
 
== См. также ==
* [[Теорема о перестановке ряда]] — противоположный результат для [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходящихся рядов]].
{{rq|stub|img|sources|topic=math}}
 
[[Категория:Ряды и последовательности]]
[[Категория:Теоремы|Римана об условно сходящихся рядах]]