Википедия

Атлас (топология): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 1:
{{другие значения|Атлас}}
В [[Математика|математике]], в частности в [[Топология|топологии]], многообразия описываются с помощью '''атласов'''. Атлас состоит из отдельных ''карт'', которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова карта и атлас имеют свою обычное значение. Обобщая привычное понятие атласа, можно получить формальное определение многообразия.
'''Карта''' и '''атлас''' — понятия [[дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]], позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.
 
== ОпределенияКарты ==
Пусть <math>K</math> — числовое [[Поле (алгебра)|поле]] (например <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>),
<math>X</math> — [[топологическое пространство]].
 
определение атласа зависит от определения ''карты''. '''Карта''' для [[Топологическое пространство|топологического пространства]] ''M'' это [[гомеоморфизм]] <math>\varphi</math> из [[Открытое множество|открытого подмножества]] ''U'' ⊂ ''M'' в открытое подмножество [[Евклидовое пространство|евклидового пространства]]. Карта по традиции записывается, как упорядоченная пара <math> (U, \varphi)</math>.
* '''Карта''' — это пара <math>(U,f)</math>, где
: <math>U</math> — [[открытое множество]] в <math>X</math>
: <math>f</math> — [[гомеоморфизм]] из <math>U</math> в [[открытое множество]] в <math>K^n</math>
 
== Формальное определение атласа ==
* Если области определения двух карт <math>(U_1,f_1)</math> и <math>(U_2,f_2)</math> пересекаются (<math>U_1 \cap U_2 \neq \emptyset</math>), то между множествами <math>f_1^{-1}(U_2)</math> и <math>f_2^{-1}(U_1)</math> имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые '''функциями сличения''' или '''отображением склейки''' :
*: <math>
\begin{matrix}
f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\
f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2)
\end{matrix}
</math>
 
* '''Атлас''' — это множество согласованных карт <math>\{(U_\alpha,f_\alpha)\}</math>, <math>\alpha\in\mathcal A</math>, такое, что <math>\{U_\alpha\}</math> образует [[Покрытие (математика)|покрытие]] пространства <math>X</math>. Здесь <math>\mathcal A</math> — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса <math>C^k</math>) или аналитическим, если функции замены координат <math>f_{\alpha_1\alpha_2}</math> для всех карт гладкие (класса <math>C^k</math>) или аналитические.
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Атлас_(топология)