Проекция (геометрия): различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
|||
Строка 4:
# изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов [[зрение|зрения]], [[фотография|фотографии]], [[камера-обскура|камеры-обскуры]]. Термин ''проекция'' в этом контексте также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод. Широко применяется в [[инженерная графика|инженерной графике]], [[архитектура|архитектуре]], [[живопись|живописи]] и [[картография|картографии]]. Изучением методов построения проекций как инженерная дисциплина занимается [[начертательная геометрия]].
# обобщение проекции в первом смысле (точнее — её разновидности — параллельной проекции) для отображения точек, фигур, векторов пространства любой размерности на его подпространство любой размерности, например, кроме проекции точек трёхмерного пространства на плоскость, это может быть проекция точек трёхмерного пространства на прямую, точек плоскости на прямую, точек 7-мерного пространства на его 4-мерное подпространство и т. п., а также проекция вектора на любое подпространство исходного пространства, и в особенности, как особенно важный частный случай, на прямую или на направление. Проекция в этом смысле находит широкое применение в отношении векторов (как в элементарном контексте, так и в абстрактном), при использовании [[декартовы координаты|декартовых координат]] и т. п.
* В технике термин ''проекция'' применяется также для описания действия оптических приборов, переносящих изображения (обычно плоские) на плоский экран с помощью источника света (см.: [[Проектор]]).
== Проекция из
Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается [[глаз]] наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости ''перспективное изображение'' предмета или '''''центральную проекцию'''''.
Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о '''''параллельной проекции'''''; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об '''''ортогональной проекции''''', а если наклонно — о '''''косоугольной проекции'''''.
Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это ''[[аксонометрическая проекция]]''.
* При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае — когда отрезок лежит на проекционном луче — в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
Строка 38 ⟶ 37 :
Термин ''проекция'' в этом смысле употребляется и в отношении самой операция проектирования, и в отношении её результата (при операции проектирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).
Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в
Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроектировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.
Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.
* Последнее определение очень просто заменить на эквивалентное с использованием [[скалярное произведение|скалярного произведения]]: если направление
* Это же можно переписать <math>|\mathbf a|\mathrm{cos}\ \alpha</math>, где <math>|\mathbf a|</math> — длина вектора <math>\mathbf a</math>, <math>\alpha</math> — угол между вектором <math>\mathbf a</math> и направлением, на которое ищется проекция.
Строка 55 ⟶ 54 :
В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.
Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из
* Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.
Тем не менее понятие неортогонального
== См. также ==
|