Уравнение Дирака: различия между версиями

'''Уравнение Дирака'''  — релятивистски-инвариантное уравнение движения для би-спинорного классического поля [[электрон]]а, применимое также для описания других точечных [[фермион]]ов со спином 1/2; установлено [[Дирак, Поль Адриен Морис|П. Дираком]] в 1928.

где <math>m\ </math>  — [[масса]] [[электрон]]а (или другого [[фермион]]а, описываемого уравнением), <math>c\ </math>  — [[скорость света]], <math>p_j = - i \hbar \partial_j</math>  — три оператора компонент импульса (по ''x, y, z''), <math> \hbar = {h \over 2 \pi} </math>, <math> h </math>  — [[постоянная Планка]], '''x'''=(''x, y, z'') и ''t'' пространственные координаты и время соответственно, и <math>\psi(\mathbf{x},t)</math>  — четырёхкомпонентная комплексная волновая функция (биспинор).

<math>\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\ </math>  — [[линейный оператор|линейные операторы]] над пространством [[биспинор]]ов, которые действуют на волновую функцию. Эти операторы подобраны так, что каждая пара таких операторов антикоммутирует, а квадрат каждого равен единице:

Из уравнения Дирака следует, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения  — [[спин]]ом, равным ħ/2, а также собственным [[магнитный момент|магнитным моментом]], равным [[Магнетон Бора|магнетону Бора]] eħ/2mc, которые ранее (1925) были открыты экспериментально (e и m  — заряд и масса электрона, с  — скорость света, ħ  — постоянная Дирака (редуцированная постоянная Планка)). С помощью уравнения Дирака была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода (и водородоподобных атомов), включающая тонкую структуру уровней (см. [[Атом]]), а также объяснён [[эффект Зеемана]]. На основе уравнения Дирака были найдены формулы для вероятностей рассеяния [[фотон]]ов свободными электронами ([[эффект Комптона|комптон-эффекта]]) и излучения электрона при его торможении ([[Тормозное излучение|тормозного излучения]]), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамикой]].

Характерная особенность уравнения Дирака  — наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что соответствует отрицательной [[масса покоя|массе частицы]]). Это представляло трудность для теории, так как все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в эти состояния в квантовой теории возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился в дальнейшем, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица (античастица по отношению к электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была действительно открыта в [[1932]] [[Андерсон, Карл Дэвид|К. Андерсоном]] и названа [[позитрон]]ом. Это явилось огромным успехом теории электрона Дирака. Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход интерпретируются как процесс образования пары электрон-позитрон и [[аннигиляция]] такой пары.

Уравнение Дирака справедливо и для др. частиц со спином 1/2 (в единицах ħ)  — ''[[фермион]]ов'', например [[мюон]]ов, [[нейтрино]], при этом хорошее соответствие опыту получается при прямом применении уравнения Дирака к простым (а не составным) частицам, как те, которые только что упомянуты. Для протона и нейтрона (составных частиц, состоящих из кварков, связанных [[глюон|глюонным полем]], но также обладающих спином 1/2) оно при прямом применении (как к простым частицам) приводит к неправильным значениям магнитных моментов: магнитный момент «дираковского» протона «должен быть» равен ядерному магнетону eħ/2Мc (М  — масса протона), а нейтрона (поскольку он не заряжен)  — нулю. Опыт же даёт, что магнитный момент протона примерно в 2,8 раза больше ядерного магнетона, а магнитный момент нейтрона отрицателен и по абсолютной величине составляет около 2/3 от магнитного момента протона. Аномальные магнитные моменты этих частиц обусловлены их составной природой и [[сильные взаимодействия|сильными взаимодействиями]].

В действительности данное уравнение применимо для кварков, которые также являются элементарными частицами со спином 1/2. Модифицированное уравнение Дирака можно использовать для описания [[протон]]ов и [[нейтрон]]ов, которые не являются элементарными частицами (они состоят из кварков). Другую модификацию уравнения Дирака  — [[уравнение Майорана]], применяют в некоторых расширениях [[Стандартная модель|Стандартной модели]] для описания нейтрино.

Уравнение Дирака описывает не [[Амплитуда вероятности|амплитуду вероятности]] для одного электрона, как могло бы показаться, а величину, связанную с плотностью заряда и тока дираковской частицы: в силу сохранения заряда сохраняется величина, которую считали полной вероятностью нахождения частицы. Таким образом, уравнение Дирака  — с самого начала многочастичное<!--, как и уравнения Максвелла и Клейна  — Гордона  — Фока-->.

Несмотря на эти успехи, такая теория имеет тот недостаток, что она не описывает взаимодействие квантованного электронного поля с квантованным электромагнитным полем, в том числе и рождение/уничтожение частиц  — один из фундаментальных процессов релятивистской теории взаимодействующих полей. Эта трудность разрешена в [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]]. В случае электронов  — добавляется квантованное электромагнитное поле, квантование самого электронного поля и взаимодействие этих полей, а полученная теория называется [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамикой]].

Уравнение Дирака  — релятивистское обобщение [[уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]]:

где ''p_j''  — операторы проекций импульса, где индекс ''j'' =1,2,3 обозначает декартовы координаты. Каждый такой оператор действует на волновую функцию как пространственная производная:

Это не вполне удовлетворительное уравнение, так как не видно явной лоренц-ковариантности (выражающей формальное равноправие времени и пространственных координат, что является одним из краеугольных камней [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]]), а кроме того  — написанный корень из оператора не выписан явно. Однако возведение в квадрат левой и правой части приводит к явно лоренц-ковариантному [[Уравнение Клейна-Гордона|уравнению Клейна-Гордона]]. Дирак предположил, что поскольку правая часть уравнения содержит первую производную по времени, то и левая часть должна иметь только производные первого порядка по пространственным координатам (иначе говоря  — операторы импульса в первой степени). Тогда, полагая, что коэффициенты перед производными, какую бы природу они ни имели,  — постоянные (вследствие однородности пространства), остается только записать:

где {,}  — [[антикоммутатор]], определяемый как {''A,B''}''≡AB+BA'',и ''δ''_ij  — [[символ Кронекера]], который принимает значение 1 если два индекса равны и в противном случае 0. Смотрите [[алгебра Клиффорда]].

Поскольку такие соотношения не могут выполняться для обычных чисел (ведь числа коммутируют, а α  — нет), остается  — проще всего  — предположить, что α  — это некие линейные операторы или матрицы (тогда единицы и нули в правой части соотношений можно считать соответственно единичными и нулевыми оператором или матрицей) и можно попытаться найти конкретный набор α, воспользовавшись этими соотношениями (и это удается).

где ''0'' и ''I''  — 2×2 нулевая и единичная матрицы соответственно, и σ_''j'' (''j'' = 1, 2, 3)  — [[матрицы Паули]], являющиеся, кстати, матричным представлением [[кватернионы|кватернионов]], о которых давно известно, что они антикоммутируют.

Поскольку на волновую функцию ''ψ'' действуют матрицы 4×4, она должна быть четырёхкомпонентным объектом. Мы увидим в следующем параграфе, что волновая функция состоит из двух степеней свободы, одна из которых соответствует положительным энергиям, а другая отрицательным. Каждая из них имеет ещё по две степени свободы, связанные с проекцией спина на выделенное направление <!-- ну не «направление» же! --Incnis Mrsi  — а почему? есть оператор проекции спина на выделенное направление, о нём ведь и речь? а на состояния можно ведь только состояния проецировать… --Сергей Сашов -->, условно часто обозначаемые словами «вверх» или «вниз».

Значение компонент волновой функции зависит от координатной системы. Дирак показал как ''ψ'' преобразуется при изменении координатной системы, включая повороты в трёхмерном пространстве и преобразования между (быстро) движущимися друг относительно друга системами отсчёта. ''ψ'' при этом не преобразуется как [[Вектор (математика)|вектор]] обычного пространства (или пространства-времени) при вращениях пространства или [[Преобразования Лоренца|преобразованиях Лоренца]] (что само по себе и не удивительно, так как его компоненты изначально не связаны прямо с направлениями в обычном пространстве). Такой объект получил название четырехкомпонентного дираковского спинора (иначе называемого биспинором  — последнее название связано с тем, что первоначально в качестве спиноров рассматривались только двухкомпонентные комплексные объекты, пара которых может образовать биспинор). Биспинор можно интерпретировать как вектор в особом пространстве, называемом обычно «внутренним пространством», не пересекающемся с обычным («внешним») пространством. Однако, как уже было сказано выше, компоненты спинорных волновых функций при преобразовании координат внешнего пространства изменяются вполне определенным образом, хотя и отличающемся от преобразования компонент векторов обычного пространства.

Точности ради следует сказать, что все изменения, связанные с поворотами координат во внешнем пространстве, можно перенести на матрицы α (которые тогда будут выглядеть по-разному для разных внешних систем координат, но будут сохранять свои основные свойства  — антикоммутативности и равенства единице квадрата каждой матрицы), в этом случае компоненты (би-)спиноров вообще не будут меняться при поворотах внешнего пространства.

:: <math>\mathbf{p} \,</math>  — обычный трёхмерный вектор, а

:: ''p'' и ''x''  — [[4-вектор]]ы.

:: <math>p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu \,</math> (определение <math>\gamma^\mu\,</math>  — см. чуть ниже).

где ''ψ₀''  — независимая от времени часть полной волновой функции

где ''w''  — постоянный четырёхкомпонентный спинор и ''p''  — импульс частицы, как можно показать действуя оператором импульса на эту волновую функцию. В представлении Дирака уравнение для ''ψ₀'' сводится к задаче на собственные значения:

Для каждого значения ''p'', существует два двумерных пространства собственных значений. Одно пространство собственных значений содержит положительные собственные значения, а другое  — отрицательные в виде

Чтобы справляться с этой проблемой, Дирак вводил гипотезу, известную как '''дырочная теория''', что [[вакуум]]  — это многочастичное квантовое состояние, в котором все состояния с отрицательной энергией заняты. Это описание вакуума как «море» электронов называют [[море Дирака|морем Дирака]]. Поскольку [[принцип запрета Паули]] запрещает электронам занимать то же самое состояние, любой дополнительный электрон был бы вынужден занять состояние с положительной энергией, и электроны с положительной энергии не будут переходить в состояния с отрицательной энергией.

Дирак далее рассуждал, что если состояния с отрицательной энергией не полностью заполнены, каждое незанятое состояние  — называемое '''[[Дырка (квазичастица)|дыркой]]'''  — вело бы себя как положительно заряженная частица. Отверстие обладает «положительной» энергией, так как энергия необходима для создания пары частица-дырка из вакуума. Как отмечено выше, Дирак первоначально думал, что дырка могла бы быть протоном, но [[Вейль, Герман|Вейль]] указал, что дырка должна вести себя, как будто она имеет ту же самую массу как электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. Дырка была в конечном счете идентифицирована как [[позитрон]], экспериментально обнаруженный [[Андерсон, Карл Дэвид|Карлом Андерсоном]] в [[1932]].

<!--Массовый член в уравнении Дирака S coupling. coupling Юкавы может быть S или P. Электромагнитное coupling  — V. Слабое взаимодействие  — V-A.-->

До сих пор мы рассматривали электрон, на который не действуют никакие внешние поля. По аналогии с [[гамильтониан]]ом заряженной частицы в [[электродинамика|классической электродинамике]], мы можем изменить гамильтониан Дирака так, чтобы включить эффект [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]]. Переписанный гамильтониан  — (в единицах [[СИ]]):

где ''e''  — [[электрический заряд]] электрона (здесь принято соглашение, что знак e отрицателен), а '''A''' и ''φ''  — электромагнитные векторный и скалярный потенциалы, соответственно.

где '''B''' = <math>\nabla</math>×''' A'''  — [[магнитное поле]] действующее на частицу. Это [[уравнение Паули]] для нерелятивистских частиц с полуцелым спином, с [[магнитный момент|магнитным моментом]] <math>\hbar e/2mc</math> (то есть, [[g-фактор]] равняется 2). Фактический магнитный момент электрона больше чем это значение, хотя только примерно на 0,12  %. Несоответствие происходит из-за квантовых колебаний в электромагнитного поля, которыми пренебрегли. См. [[вершинная функция]].

где ''H''_free  — гамильтониан Дирака для свободного электрона и ''H''_int  — гамильтониан взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Последний запишется в виде

где ''ρ''  — плотность электрического заряда и '''j'''  — плотность электрического тока, определённые через ''ψ''. Подынтегральная функция в последнем интеграле  — плотность энергии взаимодействия  — лоренц-инвариантная скалярная величина, что легко увидеть, записав в терминах четырехмерной плотности тока ''j'' = (''ρc'', '''j''') и четырехмерного электромагнитного потенциала ''A'' = (''φ/c'', '''A''')  — каждый из которых является [[4-вектор]]ом, а следовательно их скалярное произведение инвариантно. И энергия взаимодействия записывается как интеграл по пространству от этого инварианта:

где ''η''  — метрика плоского пространства Минковского (лоренцева метрика пространства-времени):

А следовательно  — проинтегрированная по времени энергия взаимодействие даст лоренц-инвариантный член в действии (так как повороты и преобразования Лоренца не меняют четырехмерный объем).